- •Павел Власович Грес математика для гуманитариев
- •Содержание
- •Предисловие
- •Предисловие к первому изданию
- •I. Методологические проблемы математики
- •1.1. Предмет математики
- •1.2. Математический язык: особенность, становление и развитие
- •1.3. Геометрия Евклида — первая естественно-научная теория
- •1.4. Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •2. Теория множеств
- •2.1. Множества. Операции над множествами
- •Упражнения
- •Упражнения
- •2.2. Множества и отношения
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •3. Элементы дискретной математики
- •3.1. Элементы комбинаторики
- •3.1.1. Основные правила комбинаторики
- •3.12. Размещения
- •3.13. Перестановки
- •3.14. Сочетания
- •3.2. Элементы теории графов
- •4. Элементы математической логики
- •4.1. Сущность математической логики
- •4.2. Особенности математической логики
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •5. Введение в математический анализ
- •5.1. Понятие функции
- •5.2. Предел функции
- •6. Дифференциальное исчисление
- •6.1. Производная. Правила и формулы дифференцирования
- •Основные правила дифференцирования
- •6.2. Приложения производной
- •6.2.1. Исследования на экстремум
- •6.2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.2.3. Вычисление пределов: раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)
- •Контрольные вопросы и упражнения:
- •В. Брюсов
- •7. Интегральное исчисление
- •7.1. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования
- •7.2. Определенный интеграл
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •8. Дифференциальные уравнения
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •9. Основы теории вероятностей и математической статистики
- •9.1. Событие и вероятность: основные понятия, определение вероятности
- •9.1.1. Понятие о случайном событии
- •9.1.2. Определение вероятности
- •9.13. Алгебра событий
- •9.2. Случайные величины
- •9.3. Основные понятия математической статистики
- •Характеристики и параметры статистической совокупности
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •10. Математическое моделирование и принятие решений
- •10.1. Математические методы и моделирование в целенаправленной деятельности
- •10.2. Исследование операций и принятие решений
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •Варианты заданий для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Программа курса
- •Тема 1. Предмет математики. Методологические проблемы и принципы
- •Извлечения из государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
- •Библиографический список
Контрольные вопросы и упражнения
-
Абстракция есть атрибут применения математических методов. Как вы понимаете этот термин?
-
Что такое метод экспертных оценок?
-
Какова роль весовых множителей в математических моделях?
-
Что такое многокритериальность и какие существуют основные подходы при принятии решений в таких случаях?
-
Принятие решений — это процесс. Что является конечным результатам этого процесса?
-
Цель при принятии решений может быть сформулирована:
а) в виде целевой функции;
б) в виде отношения предпочтения.
Какой способ позволяет построить более адекватную модель при изучении сложных систем? Поясните с помощью понятий теорий и множеств.
-
Когда и в связи с чем появился термин «исследование операций»? Каково его современное понимание?
-
Перечислите типичные задачи, решаемые с помощью метода исследования операций.
-
Что вкладывается в понятие «целевая функция»? Приведите примеры.
-
Как в общем случае можно записать задачу поиска оптимального решения в условиях определенности?
* * *
В заключение хочется подчеркнуть, что дальнейшее освоение математических методов возможно при самостоятельной работе, причем как с помощью учебников по математике и статистике, так и с конкретным материалом, для анализа которого используются математические методы. Это чрезвычайно интересно и плодотворно, хотя нелегко. Как выразился У. Шекспир: «Если бы делать было бы столь же легко, как знать, что надо делать, - часовни были бы соборами, хижины — дворцами».
В применении математических методов в гуманитарных науках много нового, неизведанного, поскольку это одно из новых, молодых направлений науки. И для каждого, кто пожелает здесь приложить свои силы, открывается широкое поле деятельности; а профессионализм, как известно, приобретают на практике.
Известно, что для ученого и инженера математика — это орудие, для математика-профессионала — религия, а для обычного человека — камень преткновения. Будем надеяться, что данный курс помог по-другому взглянуть на математику, вскрыть ее внутреннюю логику и связи.
Как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А.Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему, прежде всего, нужно ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».
Я слышу, и я забываю.
Я вижу, и я запоминаю.
Я делаю, и я понимаю.
Китайская пословица
Варианты заданий для самостоятельной работы Задание 1
3адача 1. Заданы два множества: А и В (см. таблицу). Определить множества АВ, АВ, А\В, В\А, АВ.
Вариант |
Множество А |
Множество В |
1- |
{1,5,7,11} |
{5,9,11,15} |
2 |
{1,3,5,7,11} |
{3,5,9} |
3 |
{2,4,6,9} |
{1,2,3,6} |
4 |
{4,6,10,16} |
{6, 10, 12, 18} |
5 |
{4,6,10,12} |
{4,8,12,16} |
6 |
{1,3,5,9} |
{3,5,7,11,13} |
7 |
{2,4,9,13} |
{4,6,9} |
8 |
{1,3,9,11} |
{2,3,5,6,7} |
9 |
{2,4,8,12} |
{3,4,5,8,10} |
10 |
{1,3,6,8} |
{3,4,5,6} |
Задача 2. По данным промежуткам А и В на числовой прямой, определить АВ, АВ, А\В, В\А.
Вариант |
А |
В |
1 |
(0;3] |
(3;6) |
2 |
[0;5) |
[1;) |
3 |
(0;3) |
[1;4] |
4 |
[2; ) |
0;7] |
5 |
(-6;-3] |
[-5;-1) |
6 |
[-4;-0,5) |
(- ;-2) |
7 |
(-; 1] |
(-2; ) |
8 |
[-6; 7] |
(0; 10) |
9 |
(-6; 2] |
[-2; 3] |
10 |
(0;2) |
[1;5) |
Задача 3. Найти пределы функции при различных значениях а (не применяя правила Лопиталя).
Вариант |
y |
a |
1 |
2; 3; |
|
2 |
0; 2; |
|
3 |
3; -3; |
|
4 |
-3; -2; |
|
5 |
2; 4; |
|
6 |
2; 5; |
|
7 |
1; -4; |
|
8 |
5; -5; |
|
9 |
-2; 1; |
|
10 |
-2; -1; |