4.3 Средние величины.

Средние величины широко распространены в статистике.В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др. Средняя — это один из распространенных приемов обобщений.

Если совокупность величин состоит из множества какого либо свойства, то средняя, отвлекаясь от их индивидуальных различий, характеризует то общее, типичное, что прису ще всей совокупности в целом. В средней величине компенсируются, погашаются случайные отклонения, присущие индивидуальным значениям, отражаются те общие свойства, под влиянием которых формировалась вся совокупность. В этом проявляется - самом общем виде закон больших чисел. Сам закон больших чисел состоит в постоянном погашении элемента случайности.

• Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных, правильно статистически организованного, массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).

Средняя величина является показателем, рассчитьиваемым путем сопоставления абсолютных или относительных величин. для получения требуемой средней величйны необходимо корректно определить те показатели, которые следует соотнести, т.е. построить исходное соотношение средней. Последнее отражает сущность рассчитываемой средней величины. Например, средняя урожайность рассчитывается путем соотнесения валового сбора (выраженного в центнерах) с общим размером посевной площади (выраженного в гектарах).

Существуют две категории средних величин: 1.) Степенные средние - к которым относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

2.) Структурные средние, к которым относятся мода и медиана.

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности и усред няемого характера имеющихся исходных данных.

Средняя арифметическая величина представляет собой самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Формула простой средней арифметической имеет вид:

Х=  х/n

где Х — средняя величина;

х — индивидуальные значения признака отдельных единиц

совокупности,

n— численность совокупности.

Простая средняя арифметическая используется в расчете

Средняя арифметическая взвешенная не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической: суммируется один из повторяющихся вариантов, заменяясь на частоту своего повторения. Естественно, что при этом величина средней зависит уже от соотношения их весов. Чем больше веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней, и на оборот. Формула средней арифметической взвешенной имеет вид :

Х= х*f / f

где f-частота

Средняя геометрическая простая высчитывается путем вычисления корня степени из произведения отдельных значени признака.

Х=√ х₁*х₂*х₃…*х_n

Средняя гармоническая простая величина обратна средней арифметической простой и рассчитывается по формуле:

Х=n /1/х

Средняя геометрическая взвешенная применяется, когда темпы роста остаются неизменными в течение нескольких периодов. Формула средней геометрической взвешенной определяется следующим образом:

Формула средней квадратической используется для измере ния степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Известно, что стеттенные средние разных видов, исчислен ные по одной и той же совокупности, имеют различные количе ственные значения. И чем больше показатель степени/с, тем боль ше и величина соответствующей средней:

Хгарм. -< Хгеом. -< Харифм. < Хкв.

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

Кроме рассмотренньих средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана.

Мода — это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Ее обозначают символом Мо. Например: 2, 4, 3, 3, 3, 3, 1, 5. Мода — 3.

Чтобы определить медиану, необходимо найти середину ранжированного статистического ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Вначале определяют порядковый номер медианы:

где п — объем ряда (число единиц в ряду).

Если ряд состоит из четного числа членов, то медиана определяется как полусумма двух срединных вариант. Например, дан ряд 10, 20, 30, 40, 50, ..., 80.

N=(8 + 1)/2 =4,5, М=(40+50)/2+45

В практике мода и медиана часто используются вместо средней арифметической или наряду с ней. Так, фиксируя средние цены на оптовьтх рынках, записывают наиболее часто встречающуюся цену каждого продукта, т.е. определяют моду цены. Тем не менее, наилучшей характеристикой величины варианта служит средняя арифметическая, которая имеет ряд существенных преимуществ, главное из которых — точное отражение суммы всех значений признака, использующихся для решения соответствующих практических задач.

Методика расчёта средних величин:

Пример 4. Рассчитать среднюю выработку продавца магазина на основании следующих данных:

ВЫРАБОТКА ЗА ДЕНЬ , руб Т/ОБОРОТ, руб.

580 1589

590 1700

390 1450

450 1720

570 1490

В каждом конкретном случае необходимо дать обоснование применения соответствующей формулы ,следует применять так называемую логическую формулу

Средней величины, в данном примере :

Выработка= Т/оборот

Численность

Введём условные обозначения: обозначим Т/оборот через «f», выработку через «Х».

Тогда для опредиления средней выработки применяется формула средней гармонической взешенной: Х= f / f/х

Х=1589+1700+1450+1720+1490 .= 7949 =506руб/чел.

1589/580+1700/590+1450/390+1720/450+1490/570 15,7

ТЕМА№ 5 «ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ»

5.1.Понятие вариации, ее значение.

5.2.Вариациовный ряд.

5.3.Система показателей вариации.

5.4.Размах вариации.

5.6.Дисперсия.

5.7.Среднее квадратическое отклонение.

5.8.Коэффициент вариации.

Вариация — это принятие единицами совокупности или группами различных, отичающихся друг от друга, значений знака. Вариация является результатом воздействия на единицу совокупности множества факторов. Синонимами терминация являются понятия изменение (изменчивость, вариативность’).

Вариация — одна из важнейших категорий статистической науки. Явления, подверженньие вариации, лежат в области исследования статистической науки, в то время как явления неизменные, статистические, постоянные в статистике не рассматриваются.

Практически все явления, имеющие естественный характер происхождения, подвержены изменчивости (например, химические процессы, , изменчивость наследственных признаков у каждого человека и др.). Явления, а также ряд естественных законов могут иметь неизменный характер (например, минимальный размер заработной платы)

Необходимо подчеркнуть значение исследования вариации в статистической науке:

1. Выявление измеычввости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов, в свою очередь подверженньих изменчивости, или, другими словами, — оценить степень устойчивоти явленияк внешним воздействиям.

2. Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, т. е. меру типичности, рассчитанной для этого явления средней величины.

Вариационным рядом называется последовательность различных вариант, записанных в возрастающем порядке вместе с соответствующими частотами.

В зависимости от типа признака различают дискретньие и интервальные вариационньие ряды. В зависимости от объема исходных данных и области допустимых значений одномерного количествснного признака, частотные распределения также подразделяются на дискретньие и интервальные. Если различных очень много (более 10—15), то эти варианты группируют вьибирая определенное число интервалов группировки и таким образом интервальное частотное распределение.

Первым шагом при построении интервального вариационого ряда является выбор определенного принципа, который дается в основу построения интервального ряда. Выбор этого принципа зависит от степени однородности рассматриваемой совокуности. Если совокупность однородна, то при построении ряда используют принцип равных интервалов. При этом вопрос однородности решается содержательным анализом изучаемых явлений.

Изменчивость явления в статистическом анализе отображается с помощью целого ряда характеристик, называемых системой показателей вариации. В нее входят:

абсолютные показатели вариации:

1) размах вариации;

2) средние величины (групповые и общие):

— степенные средние величины;

— структурные средние величины;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсии (групповая, межгрулповая и общая) и среднее квадратическое отклонение;

относительные показатели вариации:

1) коэффициент осцилляции;

2) коэффициенты вариации (в том числе линейный);

3) коэффициенты детерминации (эмпирические и теоретические).

Размах вариации отражает пределы изменчивости признака или, другими словами, амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной величиной при знака (х) и минимальной величиной признака (х), т.е. по фор муле:

1.

х — наибольшее значение признака;

х. — наименьшее значение признака.

Дисперсия — средний квадрат отклонений индивидуальньх значений признака от их средней величины:

Для вариационного ряда дисаерсия вычисляется по следующей формуле: (см. таблицу 2.)

Часто для исследования удобно представлять меру рассеяния в тех же единицах измерения, что и варианты. Тогда вместо дисперсии используют среднее квадратическое отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии, т.е. среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле: (см. таблицу 2)

Рассмотренные выше меры рассеявия (размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) являются абсолютными величинами, судить по ним о степени колеблимости признака не всегда возможно, в некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния. Таким показателем является коэффициент вариации (V), который представляет собой отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах:

Коэффициент вариации позволяет:

— сравнивать вариацию одного и того же признака у разных групп объектов;

— выявить степень различия одного и того же признака одной и той же группы объектов в разное время;

— сопоставить вариацию разных признаков у одних и тех групп объектов.

Если значение коэффициента вариации не превышает 33 то изучаемая совокупность считается однородной.

Рассмотрим на примере методику расчёта среднего квадратического отклонения и дисперсии признака.

ПРИМЕР 5 . В результате выборочной проверки расфасовки чая получены следующие данные:

Масса пачки чая, г. Число пачек чая , шт.

До 49 г. 17

49-50 52

50-51 21

51-52 7

52 и выше 3

ИТОГО : 100

Исчислить среднюю массу пачки чая,среднее квадратическое отклонение,дисперсию признака.

Для расчёта используем формулы из таблицы 2.

Все расчёты желательно оформить в виде таблицы. Для определения середины интервала

В каждой группе ,т.е. среднего значения,необходимо от интервального перейти к дискретному ряду. Величина интервала равна 1 (например,50 – 49 =1 ).Значит среднее значение для первой группы составит ( (48 +49) /2 = 48,5 ;для второй и третьей групп соответственно 49,5 и 50,5 и т. д.

Масса Число Середина Х*f Х – Х ( Х – Х ) ( Х – Х ) * f

Пачки,г. пачек,шт. интервала

(х) (f ) ( х )

до 49 17 48,5 824,5 -1.5 2,25 38,25

49 -50 52 49,5 2574 -0,5 0,25 13,0

50 -51 21 50,5 1060,5 0,5 0,25 5,25

51 -52 7 51,5 360,5 1,5 2,25 15,75

52 и выше 3 52,5 157,5 2.5 6,25 18,75

ИТОГО 100 --- 4977 ---- ---- 91,0

Средняя масса пачки чая определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Х = Х* f / f

Дисперсия признака определяется по формуле : = (Х – Х) * f / f

Тогда =91/100=0,91%

Среднее квадратическое отклонение опредилим по формуле:

= (Х – Х )*f / f = 91/100= 0,91 = 0,954