Основные элементарные функции
К основным элементарным функциям относятся:
1) Степенная функция
,
,
;
2) Показательная функция
3) Логарифмическая функция
4) Тригонометрические функции
5) Обратные тригонометрические функции
6) Гиперболическое функции
,
Элементарные функции
Функция называется явной, если она
задана формулой
в которой правая часть не содержит
зависимой переменной; например функция
.
Функция
аргумента
называется неявной, если она задана
уравнением
,
не разрешенным относительно зависимой
переменной. Например, функция
,
задана уравнением
.
(Заметим, что последнее уравнение задает
две функции:
при
и
при
.)
Графиком уравнения
называется
множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют
этому уравнению
Функция
может быть задана параметрически на
множестве
посредством
переменной
,
называемой параметром
,
где
.
В этом случае график функции
есть множество точек
.
Например, параметрическое уравнение
верхней полуокружности
,
или
имеет
вид
где
.(заметим,
что уравнение окружности
определяет две функции:
,
,
задаваемых параметрическими уравнениями
при
.)
Обратная функция. Пусть
есть функция от независимой переменной
,
определенной на множестве
с
областью значений
.
Поставим в соответствие каждому
единственное значение
,
при котором
.
Тогда полученная функция
,
определенная на множестве
с областью значений
,
называется обратной.
Так как традиционно независимую
переменную обозначают
,
а функцию -
,
то функция, обратная к функции
,
примет вид
.
Также обратную функцию обозначают в
виде
.
Например, для функции
обратной будет функция
.
Можно доказать, что для любой строго
монотонной функции
существует обратная.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Сложная функция. Пусть функция
есть функция от переменной
,
определенной на множестве
с областью значений
,
а переменная
в свою очередь является функцией
от переменной
,
определенной на множестве
с областью значений
.
Тогда заданная на множестве
функция
называется сложной функцией (или
композицией функций, суперпозицией
функций, функцией от функции). Например,
,
где
.
Понятие элементарной функции. Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами: а) с помощью алгебраических действий; б) с помощью операций образования сложной функции.
Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция
является элементарной, так как здесь
число операций сложения, вычитания,
умножения, деления и образования сложной
функций конечно.
Примерами неэлементарных функций
являются функции:
-
целая часть
;
(читается «
равно сигнум
»
- знак числа
(
);
функция Дирихле.
Элементарные функции делят на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводятся конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
-
целая рациональная функция (многочлен или полином);
-
дробно-рациональная (отношение двух многочленов);
-
иррациональная функция (если в числе операций над аргументом имеется операция извлечения корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические функции.
1 Дирихле Петер Густав (1805-1859) – немецкий математик