4. Статический расчет трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка представляет собой статически опре­делимую распорную систему, состоящую из двух полуарок, со­единенных между собой и поверхностью земли шарнирами. Опорные шарниры А и В обычно называют пятовыми, а средний С - ключевым (рис. 16).

Характерной особенностью распорных систем является на­личие горизонтальных составляющих опорных реакций (распо­ры) при действии вертикальной нагрузки.

Трехшарнирные арки могут иметь опорные шарниры на одном и разных уровнях. Одна из шарнирно-неподвижных пято­вых опор может быть заменена шарнирно-подвижной с верти­кальным опорным стержнем. В этом случае для обеспечения гео­метрической неизменяемости вводится затяжка-стержень, кото­рый воспринимает распор (рис. 17).

Для трехшарнирной арки с опорами в одном уровне харак­терными величинами являются длина пролета l (расстояние меж­ду опорами А и В), размеры левой и правой полуарок l₁ и l₂, стре­ла подъема f.

Рис. 16

Рис. 17

Сечение k определяется координатами х_k, у_k, а также углом наклона касательной к оси арки φ_k. В сечениях трехшарнирной арки возникают изгибающие моменты, перерезывающие и про­дольные усилия. Изгибающий момент считается положительным, если растягивается нижнее волокно арки.

Положительно опреде­ленная поперечная сила поворачивает часть конструкции, на ко­торую действует, по часовой стрелке. Положительная продольная сила растягивает ось арки.

Аналитический расчет трехшарнирной арки включает в се­бя определение опорных реакций V_A, V_B, H, определение внутрен­них усилий M_k, Q_k, N_k в произвольном сечении, построение эпюр M_k, Q_k, N_k. Опорные реакции и внутренние усилия в арке опреде­ляются из соотношений:

Здесь через V°_A, Q°_B, M°_k, Q°_k обозначены соответствующие величины для однопролетной балки, лежащей на шарнирных опорах, перекрывающий пролет l и загруженных такой же попе­речной нагрузкой, что и арка.

_{Если сечение К расположено справа от шарнира С, то в формулах (6) нужно перед слагаемым с множителе SIN(X) поменять знак на противоположный.}

На рис. 18 представлена расчетная схема трехшарнирной арки.

Кинематический анализ арки выполняется аналогично со­ответствующему разделу п. 1.1. Арка составлена из двух дисков АС и BC и имеет в своей структуре один шарнир C и четыре связи (шарнирно-неподвижные опоры A и B). Таким образом:

W = 3D – 3Ш - C₀ = 3∙2 - 2∙1- 4 = 0.

Далее, два упомянутых диска AC и BC соединены между со­бой и с основанием тремя шарнирами A, B, C, которые не лежат на одной прямой.

Рис. 18

Определяем опорные реакции в арке:

(равновесие левой полуарки)

(равновесие правой полуарки)

Результаты последующего расчета оформлены в табл. 2.

Таблица 2

N	Коор­динаты [М]		φk	sin φk	cos φk	[kH∙м]	[kH]	Mk [kН∙м]	Qk [kH]	Nk [kH]
	хк	yк
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
А	0	0	63,43	0,8944	0,4472	0	65	0	-2,236	-73,788
а	1	2	63,43	0,8944	0,4472	60	55	-10	-6,708	-64,844
b-	2	4	63,43	0,8944	0,4472	110	45	-30	-11,18	-56,08
B+	2	4	26,57	0,4472	0,8944	110	45	-30	24.596	-51,428
c	4	5	26,57	0,4472	0,8944	180	25	5	6,708	-42,4841
С-	6	6	26,57	0,4472	0,8944	210	5	0	-11,18	-33,54
C+	6	6	-26,57	-0,4472	0,8944	210	5	0	20,124	-29,068
d	8	5	-26,57	-0,4472	0,8944	220	5	45	20,124	-29,068
							-45		-24,596	-51,428
e-	10	4	-26,57	-0,4472	0,8944	130	-45	-10	-24,596	-51,428
e+	10	4	-63,43	-0,8944	0,4472	130	-45	-10	11,18	-55,90
g	11	2	-63,43	-0,8944	0,4472	85	-45	15	11,18	-55,90
В	12	0	-63,43	-0,8944	0,4472	40	-45	40	11,18	-55,90

Рис. 19

Сечения назначены в середине и на концах каждого из стержней, образующих ось арки (см. обозначения на рис. 18). На рис. 19 (а, б) представлены эпюры и для соответствую­щей балки, перекрывающей данный пролет и несущей заданную поперечную нагрузку. На рис. 18(в, г, д) представлены эпюры внутренних усилий M_k, Q_k, N_k в исходной трехшарнирной арке, которые построены в отрезках прямых линий. Точность в очерта­ниях эпюр зависит от количества назначенных сечений. Скачки на эпюрах Q_k и N_k при переходе через сечения в, с и е объясняют­ся резким изменением значений тригонометрических функций угла φ_k.

Обращаем внимание на существенное уменьшение значе­ний ординаты арочных эпюр М_k и Q_k по сравнению с балочными и .

Подберем поперечные сечения арки и балки из условия прочности.

Двутавровый профиль №50 по ГОСТ 8239-72: W_x=1589 см³; F=100 см²; 1_х=39727см⁴.

Для арки необходима проверка условия прочности с уче­том действия продольной силы:

Превышение над значением [σ]=160 МПа составляет 7,19%.

Поэтому, для арки назначаем следующий номер профиля - 24а, для которого W_x=317 см³; F=37,5 см²; I_x=3800 см⁴.

Сравним вес запроектированных конструкций:

Q₆ = 7,85 - 100∙12∙10^-3 =9,42 kH

Q_A = 7,85∙37,5∙4∙ 4,47∙10^-3 = 5,26 kH

Таким образом, вес арки составляет 55,9% от веса балки.