20.,Общее понятие вариации,показатели вариации и методы их расчета.

Вариацией называется различие значений признака у разных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени.Первым этапом изучения вариации является построение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением.Вариационный ряд – это ряд распределения, построенный по количественному признаку. Ряд распределения, построенный по атрибутивному признаку, называется атрибутивным. Существуют три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд – это перечень единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) значений изучаемого признака. Например, список предприятий, расположенных в порядке возрастания уровня рентабельности каждого предприятия.Дискретный вариационный ряд – это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений признака и числа единиц совокупности, имеющих то или иное значение. Например, распределение студентов группы по результатам экзамена:

Интервальный вариационный ряд – это таблица, состоящая из двух строк или граф: интервалов значений признака и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот). Например, распределение предприятий по числу работников:

На графике дискретный вариационный ряд изображается в виде полигона распределения, а интервальный – в виде гистограммы (столбиковой диаграммы).Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются показатели центра распределения, к которым, кроме средней арифметической величины, относятся мода и медиана..

22. Дисперсия и методы расчета. Правило расчета дисперсий.

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперссии и внутригрупповой. Дисперсия результативного признака внутри группы при относительном постоянстве признака фактора возникает за счет др.факторов, не связанных с х. Эта дисперсия наз. внутригрупповой или остаточной. Формула

Уij – индивидуальное значение признака в j-той группе,

Yj – средняя величина в j-той группе

Nj – количество единиц в j-той группе

Внутригрупповая дисперсия объединяется в средней величине.Формула

Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора(факторная дисперсия).Коэффициент детерминации- это квадрат эмпирического корреляционного оотношенияКоэффициент детерминации характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака.Для изучения влияния нескольких факторов на результат проводится многофакторная аналитическая группировка. Она строится как комбинационная группировка по признакам факторов, в которых для каждой группы рассчитывается среднее значение результативного признака.

19. Коэффициент детерминации и эмпирическое кор. Отношение как показатели силы и тесноты связи между факторами по аналитической группировке.

На основании правила сложения дисперсии рассчитывается эмпирическое корреляционное отклонение .

Коэффициент детерминации =². Характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака.

21Показатели вариации. Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

где хМо– нижняя граница значения интервала, содержащего моду; iМо– величина модального интервала; fМо– частота модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту; fМо-1 –частота интервала, предшествующего модальному, fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле

где xMе – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану; iМе– величина медианного интервала; – сумма частот; SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; fМе – частота медианного интервала. Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, десять или сто частей. Эти величины называются квартили, децили и перцентили. Общая схема расчета децилей следующая:1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности,по накопленным частостям определяют интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили – интервал, где находится вариант, отсекающий 10 % совокупности с наименьшими значениями признака; для второй – 20 % и т. д.; для девятой децили – интервал, содержащий вариант, отсекающий 90 % с наименьшими значениями, или, что то же самое, 10 % с наибольшими

значениями признака;2) рассчитывают величину децилей по формулам, аналогичным формуле для нахождения медианы. Например, первая и девя-

тая децили находятся по формулам: где х0 D1 , х0 D9 – начала интервалов, где находятся первая и девятая децили; iD1 , D9 i – величины интервалов, где находятся первая и девятая децили; _ f – общая сумма частот (частостей); SD1−1, SD9−1 – суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили; fD1, fD9 – частоты (частости) интервалов, содержащих первую и девятую децили. Соотношение децильных доходов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения (КD): Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая величина, опирающаяся на всю информацию об изучаемой совокупности единиц. Однако в ряде случаев средняя арифметическая должна быть дополнена или заменена модальным значением или медианой. Медиана не зависит от значений, расположенных по обе стороны от нее, поэтому ее значение лучше использовать в рядах распределения с расплывчатыми концами или в рядах распределения, в которых имеются чрезмерно малые или большие значения (выбросы). Мода используется при изучении спроса населения, когда интерес представляет определение модального размера (или модели), т.е. пользующегося наибольшим спросом.В симметричных рядах распределения все названные показатели равноправны, поскольку х = Ме = Мо, но предпочтение отдается средней арифметической. Для асимметричных рядов распределения медиана часто является предпочтительной характеристикой центра распределения, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.Не меньшее значение, чем характеристики центра распределения, имеют показатели, характеризующие степень рассеивания

значений признака вокруг средней величины.Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака:R = xmax − xmin ,

где xmax – наибольшее значение варьирующего признака; xmin –наименьшее значение признака.Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения: невзвешенное среднее линейное отклонениевзвешенное среднее линейное отклонение где xi – i-й вариант осредняемого признака, fi – вес i-го варианта.Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной: Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней величины: Среднее квадратическое отклонение – величина именованная,имеет размерность осредняемого признака.Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Показатели асимметрии и эксцесса. Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии (Аs):

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если Аs > 0, то x больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.Если As < 0, то x меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от –3 до +3.В практических расчетах часто в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.

Это дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 – незначительная.

Для симметричных распределений может быть также рассчитан показатель эксцесса, характеризующий крутизну распределения:

.

При симметричном распределении Ex = 0. Если Ex > 0, распределение является островершинным; если Ex < 0 – плосковершинным.Ex = μ

где 4 μ – центральный момент четвертого порядка.При симметричном распределении Ex = 0. Если Ex > 0, распределение является островершинным; если Ex < 0 – плосковершинным.