2. Парный регрессионный анализ

Таблица 4

Исходные данные

x			1		2		3		4		5		6		7
y			1,5		1,83		2,81		4,11		5,62		7,29		8,91

Одной из основных характеристик системы двух случайных величин является корреляционный момент (или ковариация) , который вычисляется по формуле:

. (3.1)

Поскольку корреляционный момент имеет размерность, его преобразуют в безразмерную величину по формуле:

. (3.2)

Величина играет чрезвычайно большую роль в статистических исследованиях и называется коэффициентом корреляции. Его значения заключены в интервале между +1 и -1. Если коэффициент корреляции равен нулю, то линейная связь между случайными вели­чинами отсутствует.

Если значения более 0,7-0,8, то можно считать связь сильной, при = 0,5-0,7 - связь средняя, а при =0,2-0,5 - связь слабая. Принято счи­тать, что линейной корреляции нет, если <0,4.

Различают два вида связи: 1) функциональная, 2) вероятностная (стохастическая).

Уравнение множественной регрессии должно быть адекватно изучаемому процессу. Коэффициенты в уравнении регрессии вычисляются методами матричной алгебры.

Задачу решают проведением прямой линии через набор опытных точек и в определении уравнения описывающего эту прямую. Обычно используется метод наименьших квадратов.

Если между величинами и установлена линейная статистическая зависимость, то представляет интерес найти ее выражение в виде уравнения прямой линии

, (3.3)

где и - коэффициенты.

Такое уравнение называется уравнением регрессии. Если величина не случайная, то существует одно уравнение регрессии. Если обе величины и случайные, то имеется два уравнения регрессии и можно вычислять зависимости как от , так и от .

Коэффициенты уравнения регрессии и :

(3.4)

. (3.5)

Коэффициент корреляции:

. (3.6)

Если опытные точки в декартовой системе координат явно лежат не вблизи прямой, то метод наименьших квадратов неприменим.

Построение графиков

1)

При следующих значениях коэффициентов:

a -0.003268

b 1.0038666

Рис. 2. График уравнения линии регрессии .

2)

При следующих значениях коэффициентов:

a 0.1811966

b 2.2557954

Рис. 3. График уравнения линии регрессии.

3)

При следующих значениях коэффициентов:

a -0.001083

b 1.001503

Рис. 4. График уравнения линии регрессии .

Были произведены расчеты, использованы метод линеаризации и метод наименьших квадратов. На графиках видно, что разброс точек относительно линий регрессии незначителен, следовательно и коэффициент корреляции близок к единице.