3. Кинетические модели

Динамику радиофармпрепаратов в органах и тканях часто описывают с помощью математических моделей, которые, как правило, представляют собой сумму экспоненциальных функций (так называемые ”кинетические модели”):

A(t) = ∑α_j e^{-λjt ,} (3)

где:

A(t) – содержание РФП в органе или ткани как функция времени t;

 _j – содержание РФП в органе или ткани, ассоциированное с j-й экспонентой;

 _j – константа, которая характеризует скорость выведения или накопления РФП, ассоциированная с j-й экспонентой.

Сумма в выражении (3) суммирует все компоненты экспоненциальных функций по индексу j.

Для того, чтобы уравнение (3) было более понятным, проиллюстрируем его на конкретном примере. Рассмотрим случай введения в организм (“во все тело”) РФП в виде йодида натрия. Предположим, что согласно кинетической модели 72,9% йодида натрия выводится из всего тела с биологическим периодом полувыведения 6,08 часа, а 27,1% этого соединения выводится из всего тела с биологическим периодом полувыведения 1560 часов. Соотношение между биологическим периодом полувыведения (T_1/2) и константой  следующее: T_1/2 = 0,693/ Следовательно, величины  равны 0,693/6 = 0,114 час^-1 и 0,693/1560 = 0.000444 час^-1,соответственоо. Итак, если мы предположим, что в организм было введено условное количество в одну условную единицу (в данном случае неважно – какова эта единица) йодида натрия, то кинетическая модель, описывающая биологическое выведение этого РФП из организма будет иметь следующий вид:

А(t) = 0,729e^-0.114t + 0,271^-0.000444 (4)

Итак, мы видим, что 0,729 условных единиц йодида натрия было выведено из организма в соответствии с первой экспонентой и 0,271 условных единиц йодида натрия было выведено из организма в соответствии со второй экспонентой. Но… (что важно!) это - только БИОЛОГИЧЕСКОЕ выведение. Мы можем перейти к реальной активности и числу распадов N для любого радиоактивного изотопа йода в составе йодида натрия. Например, для того, чтобы рассчитать полное число распадов (N) ¹³¹I мы должны проинтегрировать уравнение (4) с учетом периода ФИЗИЧЕСКОГО полураспада рассматриваемого радионуклида. Если мы интегрируем по времени от нуля до бесконечности, то получим следующее простое соотношение:

N = α₁/(λ₁+λ_P) + α₂/(/(λ₂+λ_P) , (5)

где:

 _p – константа ФИЗИЧЕСКОГО полураспада ¹³¹I = 0,693/(8 суток×24 час/сутки) = 0,0036 час^-1.

Остальные обозначения – те же, что и выше, см. (4).

После этого, для того, чтобы перейти к реалиям, достаточно умножить результат на реально введенную в организм активность РФП.

Если есть необходимость интегрировать не до бесконечности, а до какого-то времени t, то достаточно умножить каждое слагаемое в (5) на соответствующие этим слагаемым величины

(1-e^{-(p) t}) и (1-e^{-(p) t}), соответственно.

Ниже, в качестве примера, приведена табл. 1 с величинами параметров уравнения (3) для различных органов и всего тела (случай однократного введения йодида натрия в организм взрослого человека).

Таблица 1

Орган:	 1	 1	 2	 2	 3	 3	 4	 4
Тонкий кишечник	0.169	0.114	0.00115	0.0488	-0.0000962	0.00496	0.000221	0.000444
Печень	0.0159	0.114	-0.00206	0.0488	-0.00506	0.00496	0.00667	0.000444
Желудок	0.149	0.114	0.00103	0.0488	-0.0000913	0.00496	0.000204	0.000444
Щитовид-ная железа	-0.255	0.114	--	--	--	--	0.255	0.000444
Все тело	0.729	0.114	--	--	--	--	0.271	0.000444

Упражнение 1. Используя данные табл. 1 применительно к ¹³¹I, вычислить число распадов в каждом органе-источнике, исходя из того, что в организм была введена активность 1 Бк (для справки – 1 распад/сек = 1 Бк): Тонкий кишечник: ……..(?) распадов Печень: ……….(?) распадов Желудок: ……..(?) распадов Щитовидная железа: ……..(?) распадов Все тело: ……..(?) распадов

Упражнение 2. Пользуясь справочными данными о периодах полураспада радионуклидов, оцените следующее:

При начальной активности источника с ³²P, равной 9,25 МБк, какова будет его активность через 43 дня ?

Упражнение 3. Аналогичные вычисления выполните для источника с ¹⁴С, исходя из того, что его начальная активность была равна 37 МБк.

 

4. Расчет величин N_s при экспериментальных исследованиях и доклинических испытаниях новых радиофармпрепаратов

При экспериментальных исследованиях возможно получение прямых данных о величинах активности органов и тканей экспериментальных животных (например, крыс или мышей). Эти данные получаются методами радиометрии или спектрометрии активности выделенных для исследований органов или тканей. При этом регистрируются следующие данные: измеренная активность в расчете на единицу массы биологического образца, масса измеренного образца, процентная доля массы органа или ткани, из которого был отобран образец, по отношению к массе всего тела экспериментального животного, дата введения РФП в организм животного, способ введения, дата и час измерения активности биологического образца, длительность измерения активности биологического образца.

В результате должна быть создана следующая протокольная таблица для каждого исследованного лабораторного животного, включенного в эксперимент (см. таблицу ниже). По данным таких таблиц, способом численного интегрирования, без построения кинетических моделей, возможен расчет величин N_s.

Протокольная таблица

Заголовок: название РФП, название радионуклида, физическая форма РФП (например, микросферы альбумина с указанием их среднего диаметра), дата и час (минуты) введения и способ (путь) введения радионуклида в организм экспериментального животного, общий объем инъекции (если необходимо, то указать по порциям), масса всего тела животного, дата выделения органов и тканей. Число животных, органов и тканей (от каждого животного), использованных в эксперименте, и ссылки на соответствующие протоколы измерений активности органов и тканей у группы лабораторных животных, включенных в эксперимент. ФИО ответственного за эксперимент лица. Тип и основные характеристики применяемого для измерений активности прибора, продолжительность одного измерения, дата измерений.

Орган или ткань (включая все тело)	Измеренная активность, Бк/г	Масса биологического образца, взятого для измерения, г	Масса соответствую-щего органа или ткани, включая массу всего тела животного, г	Момент измерения, в сутках, часах и минутах, измеренных после введения РФП в организм животного
1	A(t1)			t1
1	A(t2)			t2
1	A(t3)			t3
и т.д. для каждого органа или ткани с обозначением его – орган 2 (название) и т.д.				и т.д. для каждого органа или ткани
Все тело (обязательно)				и т.д. – для каждого измерения во времени после введения РФП

Наиболее простой способ численного интегрирования таблично заданной активности органа или ткани по времени (а также всего тела)– это метод численного интегрирования по формуле трапеций [Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Учебное пособие для вузов. – М. Наука. Гл. ред. Физ-мат.лит., 1989.]:

N_s = ∫A(t)dt ≈ 0,5×∑[a(_ti-1) + a(_ti)] × (t_i-t_i-1) × m , (6)

Где

∫A(t)dt – интеграл по времени от момента времени t₀=0 (начало введения РФП в организм) до некоторого момента времени t_n, когда измерения были закончены, от предполагаемой аналитической функции A(t), описывающей динамику активности;

A(t), активность, содержащаяся в том или ином органе или ткани (или же во всем теле) в зависимости от времени t;

∑ – сумма по индексу i от момента времени t₀=0 (начало введения РФП в организм) до некоторого момента времени t_n, когда измерения были закончены;

a(_ti) – удельная активность,(Бк/г), РФП, измеренная в определенный момент времени t_i после введения РФП в организм;

t_i , t_i-1 – i-й и, соответственно, предыдущий момент времени измерения активности РФП, измеренной после введения РФП в организм, в том или ином органе, ткани (или во всем теле), сек.

m – полная масса измеренного органа или ткани (или всего тела), г.