2. Законы распределения случайных величин, применяемые в теории надежности

2.1. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения применяют при изучении пос­тепенных отказов, износа, при исследовании процессов на измене­ние которых влияет большое число факторов. К нормальному близки распределения значений наработки на отказ большинство изнашивав­ших деталей машин. Часто нормальный закон распределения используют при определении суммарной наработки восстанавливаемых изделий до капитального ремонта, времени восстановления ремонтиру­емых изделий, наработки до отказа невосстанавливаемых изделий.

Дифференциальная функция или плотность вероятности нормаль­ного распределения

, (1)

где - основание натурального логарифма; - среднее значение показателя надежности; - среднее квадратичное отклонение.

Интегральная функция нормального распределения

. (2)

Вероятность того, что случайная величина при нормальном законе распределения примет значение в пределах от до равна

. (3)

Функцию называют функцией Лапласа или интегралом ве­роятностей.

, (4)

где ; .

Для отрицательных значений аргумента .

Рисунок 1. Графики функций для нормального распределения

- дифференциальная функция распределения (плотность распределения), - интегральная функция распределения (интегральная функция «отказности»), - обратная интегральная функция распределения (интегральная функция «безотказности»),

- функция интенсивности (интенсивность отказов).

2.2. Закон распределения Вейбулла

Закон распределения Вейбулла - один из самых распространенных в теории надежности. Этому закону следует усталостная долговеч­ность деталей, наработка до отказа невосстанавливаемых изделий. С помощью распределения Вейбулла можно описывать разнообразные причины отказов: усталостные, внезапные и постепенные. Закону распределения Вейбупла подчиняются отказы коробок скоростей, буровых лебедок, забойных двигателей, тракторов.

Дифференциальная функция , интегральная функция распре­деления и функция «безотказности» при распределе­нии Вейбулла имеет вид

, (5)

, (6)

, (7)

где и - параметры распределения Вейбулла.

Параметр можно определить в зависимости от коэффициен­та вариации по таблице. Параметр находится из выражения

или , (8)

где и - коэффициенты, определяемые при известном коэффи­циенте вариации по той же таблице.

При распределение Вейбулла переходит в экспоненциаль­ное, а при - близко к нормальному. Поэтому распределе­ние Вейбулла является очень гибким законом и широко применяется в теории надёжности.

Рисунок 2. Графики функций ,, и

для распределения Вейбулла

2.3. Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Несмотря на то, что экспоненциальный закон является частным случаем распределения Вейбулла, из-за его широкого распространения в теории надёжности ознакомимся с ним поподробнее.

Экспоненциальный закон распределения применим к изделиям, прошедшим предварительную приработку. Это распределение используется также при анализе внезапных отказов. Отказы буровых на­сосов, горных машин подчиняются экспоненциальному распре­деление.

Функция плотности экспоненциального распределения

, (9)

где - параметр распределения, .

Интегральная функция экспоненциального распределения

. (10)

Математическое ожидание при экспоненциальном распределении

. (11)

Коэффициент вариации для экспоненциального распределения случайной величины .

В связи с простотой, выражений (9), (10) и (11) экспоненциальный закон охотно, иногда необоснованно, применяют для расчета показа­телей надежности механических систем.

Рисунок 3. Графики функций , , и

для экспотенциального распределения