Вариант 7

1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и :

= 4 – + 6, = 2 – 3.

2. Найти проекцию вектора на направление вектора :

= (3, 7, – 5), = (1, 4, – 9).

3. Найти угол между векторами и при указанных условиях:

|| = 4, || = 1, ( – 3)² – (2 – 2)² = – 48.

4. Выяснить, при каком значении a векторы , и будут компланарны:

= (4, – 3, 3), = (2, a, – 1), = (1, 0, 3).

5. Даны векторы = 3 – 6 – , = + 4 – 5, = 3 + 4 + 2. Найти проекцию вектора + на вектор + .

Вариант 8

1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и :

= – 3 + 2 + 2, = + 2 + 4.

2. Найти проекцию вектора на направление вектора :

= (3, – 6, 5), = (1, 4, 4).

3. Найти угол между векторами и при указанных условиях:

|| = 5, = 4, (3 – )² – ( + 3)² = 0.

4. Выяснить, при каком значении a векторы , и будут компланарны:

= (3, – 2, 1), = (1, – 5, 2), = (a, 4, – 1).

5. Силы f₁ = 4 + 7 + 3 и f₂ = 3 – 5 + приложены к одной точке. Найти величину работы, которую производит равнодействующая этих сил при прямолинейном перемещении из точки M₁(5, 3, – 7) в точку M₂(4, – 1, 4).

Вариант 9

1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и :

= 3 + 2 – 2, = – + 3.

2. Найти проекцию вектора на направление вектора :

= (– 7, – 5, 1), = (3, – 4, – 2).

3. Найти угол между векторами и при указанных условиях:

|| = 7, || = 2, ( + 4)² + (3 – 7)² = 274.

4. Выяснить, при каком значении a векторы , и будут компланарны:

= (2, – 3, 5), = (1, – 4, a), = (2, 1, – 3).

5. Вектор перпендикулярен к векторам = (2, 3, – 1), (1, – 2, 3) и удовлетворяет условию =×(2 – + ) = – 6. Найти вектор .

Вариант 10

1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и :

= – 6 – 2, = 5 + 4.

2. Найти проекцию вектора на направление вектора :

= (5, 4, – 1), = (2, – 4, 6).

3. Найти угол между векторами и при указанных условиях:

|| = 3, || = 6 , (5 – 2)² – ( + 3)² = 270.

4. Выяснить, при каком значении a векторы , и будут компланарны:

= (1, 1, a), = (– 1, 3, 1), = (2, 1, – 3).

5. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и вектору = (8, – 15, 3), образует острый угол с осью Ox. Зная, что || = 51, найти координаты .

Вариант 11

1. Параллелограмм построен на векторах и . Найти его высоту, опущенную на сторону, совпадающую с вектором .

= – 2 + 3, = – – 2 – 2.

2. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора, если || = t.

= (4, – 7, 1), t = .

3. Найти угол между векторами и , если || = || = 1 и указанные векторы и взаимно перпендикулярны.

= 5 – 4, = + 2.

4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах , и :

= (5, 2, 0), = (2, 5, 0), = (1, 2, 4).

5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные p/3. Зная, что || = || = 2, || = 1, найти (2 – )×( – ).

Вариант 12

1. Параллелограмм построен на векторах и . Найти его высоту, опущенную на сторону, совпадающую с вектором .

= – 4 – 9 + 2, = – 4 + .

2. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора, если || = t.

= (5, – 3, – 1), t = .

3. Найти угол между векторами и , если || = || = 1 и указанные векторы и взаимно перпендикулярны.

= 3 + 2, = – .

4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах , и :

= (– 12, 2, – 4), = (– 4, 2, 3), = (– 3, 4, – 3).

5. Даны два вектора = (3, – 1, 5) и = (1, 2, – 3). Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям: × = 9, × = – 4.