2638 ЭИ.pdf

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов первых курсов всех специальностей

очной формы обучения

Составители: Ю.В. Гуменникова О.Е. Лаврусь

Самара

2010

1

1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке

A, а конец в точке B, то вектор обозначается AB :

B

A

Если начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой

направленный противоположно AB , через − a вектор, направленный противоположно a .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 0 . Длиной, или модулем вектора, называется расстояние между его началом и концом.

Записывается AB или a , соответственно.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу. Свободным вектором в пространстве называется вектор, который без изменения

дины и направления может быть перенесен в любую точку пространства.

2.Линейные операции над векторами

Клинейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.

Произведением вектора a на число m называется вектор ma , направление которого совпадает с направлением вектора a , если m > 0 и противоположно ему, если m < 0.

Длина вектора обозначается m a или ma . Например:

2a

a

− 3a

3

Сумму (разность) двух свободных векторов можно найти по правилу параллелограмма.

Пример. Даны свободные векторы a и b :

a b

Поместим их начала в одну точку и достроим до параллелограмма:

вычитаемого к уменьшаемому.◄ Если векторов больше двух, то применяют правило многоугольника, согласно

которому векторы помещают последовательно (начало последующего помещается в конец предыдущего), а суммой векторов будет являться вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего вектора.

Пример. Даны векторы a , b , c :

a b c

Найти линейную комбинацию d = 2a − b + 3c . Решение. Найдем векторы 2 a , – b , 3 c :

2a

− b

3c

Применив правило многоугольника, получаем

− b

d

4

3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора

z

az

ax

x

Такое представление вектора a называется его разложением по осям координат или

разложением по ортам.

Здесь ax, ay, az – проекции вектора a на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора a ); i , j , k – орты этих осей (единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).

Векторы axi , ay j , az k , в виде суммы которых представлен вектор a , называются

составляющими (компонентами) вектора a по осям координат. Применяется также запись

a = (ax, ay, az).

Длина (модуль) вектора a обозначается a и определяется по формуле

a = ax2 + a2y + az2 .

5

Направление вектора a определяется углами α, β, γ, образованными вектором a с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

направление, совпадающее с направлением вектора a . Этот вектор называют единичным вектором (ортом) вектора a и обозначают a0 . Нахождение единичного вектора того же направления, что и данный вектор a , называется нормированием вектора a .

Вектором ОМ , начало которого находится в начале координат, а конец – в точке M(x, y, z) называют радиус-вектором точки M и обозначают r (M) или просто r . Так как его координаты совпадают с координатами точки M, то его разложение по ортам имеет вид

r = xi + yj + zk .

Вектор AB , имеющий начало в точке A(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2) может быть записан в виде AB = r2 − r1, где r 2 – радиус-вектор точки B, а r 1 – радиус-вектор точки A. Поэтому разложение вектора AB по ортам имеет вид

AB = (x2 − x1 )i + (y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k .

4. Деление отрезка в данном соотношении

Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB

6

направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».

Если точка A имеет координаты (x1, y1, z1), а точка B – координаты (x2, y2, z2), то координаты точки C ( x , y , z ) определяются по формулам:

5. Скалярное произведение векторов и его приложения

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число c = a b , равное произведению данных векторов на косинус угла между ними

a b = a b cos(a b ),

где (a^b ) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b , причем всегда 0 ≤ (a ^ b )≤ π .

Свойства скалярного произведения векторов:

1)a b = b a ;

2)(λ a ) b = λ (a b )= a (λ b );

3)a (b + c )= a b + a c ;

4) a b = a npa b = b npb a ;

5)a a = a 2 ;

6)a ·b = 0 ↔ a b , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.

Если векторы a и b разложены по осям координат, т. е. a = (ax , ay , az ) и b = (bx , by , bz ), то скалярное произведение находится по формуле

a b = ax bx + a y by + az bz ,

т. е. сумме произведений соответствующих координат.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

Работа A силы F , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором S , вычисляется по формуле

A = F S = F S cos(F S ).

7

Задание 1

По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти: а) модуль вектора a ;

б) скалярное произведение векторов a и b ; в) проекцию вектора c на вектор d ;

г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β; д) угол между векторами a и b ;

е) направляющие косинусы вектора d .

1.1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),

a = 4 CB – AC , b = AB , c = CB , d = AC , l = AB, α = 5, β = 4.

1.2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),

a = – 5 AC + 2 CB , b = AB , c = AC , d = CB , l = BC, α = 2, β = 3.

1.3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),

a = 2 AC – 3 BA, b = BC , c = BC , d = AC , l = BA, α = 2, β = 1.

1.4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),

a = 2 BA + 4 AC , b = BA, c = b , d = AC , l = BA, α = 1, β = 4.

1.5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),

a = 3 AB – 4 AC , b = BC , c = b , d l = AB, α = 2, β = 3.

1.6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),

a = 3 AC – 7 BC , b = AB , c = b , d l = AC, α = 1, β = 7.

1.7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),

+ 5 CB , b = AC , c = b , d l = AB, α = 2, β = 4.

1.8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),

– 4 CB , b = c = AB , d = CB , l = AC, α = 2, β = 1.

1.9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),

+ 4 AC , b = c = BA, d = AC , l = BA, α = 2, β = 5.

1.10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),

+ 4 CB , b = c = AC , d = AB , l = AC, α = 3, β = 2.

8

10