8. Понятие базиса
Если
для системы n
векторов
равенство
верно только в
случае, когда λi
= 0, то эта система называется линейно
независимой. Если же данное равенство
выполняется для λi,
хотя бы одно из которых отлично от нуля,
то система векторов
называется линейно зависимой. Например,
любые коллинеарные векторы,
или три компланарных вектора, всегда
линейно зависимые.
Три
упорядоченных линейно независимых
вектора
,
,
в пространстве называются базисом.
Упорядоченная тройка некомпланарных
векторов всегда образует базис. Любой
вектор
в пространстве можно разложить по базису
,
,
,
т.е. представить
в виде линейной комбинации базисных
векторов:
= x
+ y
+ z
,
где x,
y,
z
– координаты вектора
в базисе
,
,
.
Базис
называется ортонормированным, если его
векторы взаимно перпендикулярны и имеют
единичную длину. Обозначают этот базис
,
,
.
Задание 3
Доказать,
что векторы
,
,
образуют базис, и найти координаты
вектора
в этом базисе.
3.1.
=
(5, 4, 1),
=
(–3, 5, 2),
= (2, –1, 3),
=
(7, 23, 4).
3.2.
=
(2, –1, 4),
=
(–3, 0, –2),
=
(4, 5, –3),
=
(0, 11, –14).
3.3.
=
(–1, 1, 2),
=
(2, –3, –5),
=
(–6, –3, –1),
=
(28, –19, –7).
3.4.
=
(1, 3, 4),
=
(–2, 5, 0),
=
(3, –2, –4),
=
(13, –5, –4).
3.5.
=
(1, –1, 1),
=
(–5, –3, 1),
=
(2, –1, 0),
=
(–15, –10, 5).
3.6.
=
(3, 1, 2),
=
(–7, –2, –4),
=
(–4, 0, 3),
=
(16, 6, 15).
3.7.
=
(–3, 0, 1),
=
(2, 7, –3),
=
(–4, 3, 5),
=
(–16, 33, 13).
3.8.
=
(5, 1, 2),
=
(–2, 1, –3),
=
(4, –3, 5),
=
(15, –15, 24).
3.9.
=
(0, 2, –3),
=
(4, –3, –2),
=
(–5, –4, 0),
=
(–19, –5, –4).
3.10.
=
(3, –1, 2),
=
(–2, 3, 1),
=
(4, –5, –3),
=
(–3, 2, –3).
3.11.
=
(5, 3, 1),
=
(–1, 2, –3),
=
(3, –4, 2),
=
(–9, 34, –20).
3.12.
=
(3, 1, –3),
=
(–2, 4, 1),
=
(1, –2, 5),
=
(1, 12, –20).
3.13.
=
(6, 1, –3),
=
(–3, 2, 1),
=
(–1, –3, 4),
=
(15, 6, –17).
3.14.
=
(4, 2, 3),
=
(–3, 1, –8),
=
(2, –4, 5),
=
(–12, 14, –31).
3.15.
=
(–2, 1, 3),
=
(3, –6, 2),
=
(–5, –3, –1),
=
(31, –6, 22).
3.16.
=
(1, 3, 6),
=
(–3, 4, –5),
=
(1, –7, 2),
=
(–2, 17, 5).
3.17.
=
(7, 2, 1),
=
(5, 1, –2),
=
(–3, 4, 5),
=
(26, 11, 1).
3.18.
=
(3, 5, 4),
=
(–2, 7, –5),
=
(6, –2, 1),
=
(6, –9, 22).
3.19.
=
(5, 3, 2),
=
(2, –5, 1),
=
(–7, 4, –3),
=
(36, 1, 15).
3.20.
=
(11, 1, 2),
=
(–3, 3, 4),
=
(–4, –2, 7),
=
(–5, 11, –15).
3.21.
=
(9, 5, 3),
=
(–3, 2, 1),
=
(4, –7, 4),
=
(–10, –13, 8).
3.22.
=
(7, 2, 1),
=
(3, –5, 6),
=
(–4, 3, –4),
=
(–1, 18, –16).
3.23.
=
(1, 2, 3),
=
(–5, 3, –1),
=
(–6, 4, 5),
=
(–4, 11, 20).
3.24.
=
(–2, 5, 1),
=
(3, 2, –7),
=
(4, –3, 2),
=
(–4, 22, –13).
3.25.
=
(3, 1, 2),
=
(–4, 3, –1),
=
(2, 3, 4),
=
(14, 14, 20).
3.26.
=
(3, –1, 2),
=
(–2, 4, 1),
=
(4, –5, –1),
=
(–5, 11, 1).
3.27.
=
(4, 5, 1),
=
(1, 3, 1),
=
(–3, –6, 7),
=
(19, 33, 0).
3.28.
=
(1, –3, 1),
=
(–2, –4, 3),
=
(0, –2, 3),
=
(–8, –10, 13).
3.29.
=
(5, 7, –2),
=
(–3, 1, 3),
=
(1, –4, 6),
=
(14, 9, –1).
3.30.
=
(–1, 4, 3),
=
(3, 2, –4),
=
(–2, –7, 1),
=
(6, 20, –3).
Пример решения задания 3
Доказать,
что векторы
=
(3, – 1, 0),
=
(2, 3, 1),
=
(– 1, 4, 3)
образуют базис, и найти координаты
вектора
=
(2, 3, 7) в этом базисе.
Вычисляем
.
Следовательно,
векторы
,
,
образуют базис, и вектор
линейно выражается через базисные
векторы:
=
α
+
β
+
γ
или в координатной форме
Решаем полученную систему по формулам Крамера. Находим:
Δ = 22, 
=
66, 
=
– 44,
= 66,
=
3,
=
– 2,
=
3, поэтому
=
(3, – 2, 3) = 3
– 2
+ 3
.◄