3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Если взять ось l и вектор и опустить перпендикуляр из конца вектора на ось l, то получим отрезок MN, который является проекцией вектора на ось l.

Итак, проекцией вектора на ось l называется число, обозначаемое пр_l и равное , где – угол между положительным направлением оси l и направлением вектора (длина отрезка MN).

Если свободный вектор перенести в координатное пространство (декартову систему координат) Oxyz, то он может быть представлен в виде

.

Такое представление вектора называется его разложением по осям координат или разложением по ортам.

Здесь a_x, a_y, a_z – проекции вектора на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора ); , , – орты этих осей (единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси).

Векторы , , , в виде суммы которых представлен вектор , называются составляющими (компонентами) вектора по осям координат.

Применяется также запись

= (a_x, a_y, a_z).

Длина (модуль) вектора обозначается и определяется по формуле

= .

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными вектором с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:

,

,

.

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением

.

Если векторы и заданы их разложениями по ортам, то их сумма и разность определяются по формулам:

,

.

Произведение вектора на скалярный множитель m определяется по формуле

.

В частности, если , то вектор имеет длину, равную единице, и направление, совпадающее с направлением вектора . Этот вектор называют единичным вектором (ортом) вектора и обозначают . Нахождение единичного вектора того же направления, что и данный вектор , называется нормированием вектора .

Вектором , начало которого находится в начале координат, а конец – в точке M(x, y, z) называют радиус-вектором точки M и обозначают (M) или просто . Так как его координаты совпадают с координатами точки M, то его разложение по ортам имеет вид

.

Вектор , имеющий начало в точке A(x₁, y₁, z₁) и конец в точке B(x₂, y₂, z₂) может быть записан в виде , где – радиус-вектор точки B, а – радиус-вектор точки A. Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид

.

4. Деление отрезка в данном соотношении

Пусть на произвольной прямой задан отрезок AB. Тогда всякая точка C этой прямой делит отрезок AB в некотором отношении λ = ± |AC|:|CB|. Если отрезки AC и CB направлены в одну сторону (т.е. точка C лежит внутри отрезка AB), то λ приписывают знак «+». Если же отрезки AC и CB направлены в противоположные стороны (т.е. точка C лежит вне отрезка AB), то λ приписывают знак «–».

Если точка A имеет координаты (x₁, y₁, z₁), а точка B – координаты (x₂, y₂, z₂), то координаты точки C (,,) определяются по формулам:

; ; .

В частности, если точка C делит отрезок AB пополам, то λ = 1 и координаты точки C(,,) определяются по формулам:

; ; .