4.19. Общая схема исследования функций

1. Найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность и нечетность;

3. исследовать функцию на периодичность;

4. исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва. Для этого приравнять знаменатель к нулю, найти значения х, при которых знаменатель обращается в ноль. В этих точках график функции терпит разрыв.

5. найти критические точки первого рода. Для этого найти первую производную, приравнять её к нулю, решить уравнение и найти действительные корни уравнения;

6. найти интервалы монотонности и экстремумы функции. Для этого методом проб определяются знаки производной в каждом из интервалов;

7. найти критические точки второго рода. Для этого найти вторую производную и приравнять её к нулю. Из этого уравнения находят критические точки второго рода. Кроме этого находят еще критические точки, где вторая производная не существует

8. найти интервалы выпуклости и точки перегиба. Для этого определяют знак второй производной в каждом интервале.

9. найти асимптоты графика функции. Для этого по формулам находят коэффициенты уравнения асимптоты, затем строят линии асимптот.

10. найти точки пересечения с осями координат;

11. построить график функции.

4.20. Контрольное задание №2

14 вариантов

Найти производные от произведения двух функций и записать

дифференциалы:

1. y = х² sin x 8. у = sin x cos x

2. y = x³ cosx 9. y = e ^х sin x

3. y = x tgx 10. y = lnx sin x

4. y = x⁵ e^x 11. y = 2 ^х cos x

5. y = x² lnx 12. y = e^х cosx

6. y = x ³ 2^х 13. y = tgx e^х

7. y = x² ctgx 14. y = 3^х  e^х

Найти производные частного двух функций :

1. у = sinx/ x² 8. y = sinx/cosx

2. y = cosx/ x³ 9. y = cosx/sinx

3. y = tgx/ x 10. y = e ^x / sinx

4. y = e^x / x³ 11. y = 3 ^x / cosx

5. y = 2 ^х / x 12. y = tgx/ 2^x

6. y = lnx/ x³ 13. y = x ⁴ / 2 ^x

7. y = x⁵ /sinx 14. y = x/ sinx

Найти скорость и ускорение прямолинейного движения материальной точки в момент времени t:

1. S = 3t + t³ + 7 t = 3 8. S = 2t³ + 4t² + 5 t = 1

2. S = 4 + 2t + t⁴ t = 1 9. S = 3t² + t³ + 6 t = 2

3. S = 9 + 3t + 2t³ t = 3 10. S = 3t³ + 4t² + 5 t = 1

4. S = 8 + t² + 2t³ t = 2 11. S = 5t² + 2t³ + 9 t = 2

5. S = 9 + 2t² + t³ t = 2 12. S = 4t² + 8 + t³ t = 3

6. S = 5t² + 4t³ t = 3 13. S = t³ + 9 + 3t² t = 2

7. S = 7 + t³ + 5t² t = 4 14. S = t⁴ + 8 + 4t t = 2

Исследовать функцию на экстремум, исследовать функцию на точки перегиба:

1. у = (х + 2)² (х – 4)

2. у = (х + 3)² (х - 6)

3. у = (х + 4)² (х – 5)

4. у = (х + 1)² (х - 5)

5. у = (х - 5 )² (х + 1)

6. у = (х + 2)² (х – 7)

7. у = ( х – 2)² (х – 5)

8. у = (х -7)² (х + 2)

9. у = (х + 5)² (х – 4)

10. у = (х – 8)² (х + 1)