4.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Пусть функция у = f (х) задана через параметр t, а именно х =х (t) и у=у(t). Тогда производная от функции у по х выражается через производные от функции х по t и от функции у по t:
уx
=
4.9. Дифференцирование неявно заданной функции.
Для неявно заданных функций нет единой формулы определения производной, а существует метод нахождения производной. Пусть функция у неявно содержится в уравнении F(х,у) = 0. Возьмем производные по х в каждой части уравнения, при этом функцию у будем рассматривать как сложную функцию. Получим уравнение относительно у. Из этого уравнения и находим у.
Пример
Найти производную у из уравнения х2 + у2 = 5
Решение
Продифференцируем каждую часть уравнения по х:
2х + 2у у= 0, следовательно, у = - х/ у.
-
Производная обратной функции
Если функция у = f (х) имеет обратную функцию х = g(x) на интервале (а, b) и имеет отличную от нуля производную ух , то обратная функция дифференцируема и производная определяется по формуле:
ху = 1/ ух.
4.11. Таблица производных основных элементарных функций.
|
c=0, с=const |
(ex)=ex |
|
(xn)=nxn-1 |
(sin x)=cos x |
|
(ax)=ax ln a |
(cos x)= -sin x |
|
(ln
x)= |
(tg
x)= |
|
(log
a
x)= |
(ctg
x)=
- |
|
(arcsin
x)= |
(arctg
x)= |
|
(arccos
x)=
- |
(arcctg
x)=
- |
Пример 1: К выполнению контрольного задания №2
Найти производную у и дифференциал функции у = 3х • sin x
Решение:
Здесь используются правила нахождения производной от произведения функций и вынесения множителя за знак производной.
Обозначим :
u =3х, v = sin x
u =3 v =cos x
По формуле (uv) = u v + u v, запишем у = 3 (sin x + x соs x )
Дифференциал функции dy = 3 ( sin x + x cos x) dx.
4.12. Производные высших порядков
Производная от функции называется производной первого порядка или первой производной. Производная от первой производной называется производной второго порядки или второй производной, затем – третьей и так далее пока производные высших порядков будут существовать.
Обозначаются производные высших порядков так: у, у, у, …, у(n) и т.д.
Пример 2
Найти производные высших порядков от функции у = х3
Решение
Первая производная : у = 3х2, вторая производная: у = 6 х, третья производная: у= 6, четвертая: у(4) = 0 и все остальные производные y(n) равны «0».
4.13. Дифференциалы высших порядков
Дифференциалы высших порядков определяются по формуле:
dn y = f (n) (x) dxn