Задача 1,в

Для стальной балки (рис.4.87), состоящей из двух швеллеров [], требуется:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. подобрать поперечное сечение балки из условия проч­ности балки по допускаемым напряжениям.

Исходные числовые данные: P=3кН, М=4кНм, q₁ =4 кН/м, q₂=2q₁ = 8 кН/м, l = 1м, допускаемое напряжение = 160 МПа.

Рис.4.87. Заданная схема балки

1. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих

моментов

1.1. В соответствии с исходными данными вычерчиваем расчетную схему балки, на которой показываем опорные реакции и . Реакцию направляем вверх, опорный момент - по часовой стрелке (рис.4.88).

Рис.4.88. Расчетная схема заданной балки

1.2. Определение опорных реакций из условий равновесия балки:

Так как одна из реакций опор отрицательна (реакция), ее направление изменяется на противоположное, а направление опорного момента остается без изменений.

1.3. Проверка правильность вычисления опорных реакций:

Для проверки вычислений составляется уравнение равновесия балки, в которое входили бы обе опорные реакции:

Уравнение равновесия при найденных величинах реакций удовлетворяется.

1.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов аналитический способом.

1.4.1. Разбиение балки на участки. Составление уравнений для вычисления и их определение в граничных сечениях.

Для записи уравнений разбиваем балку на три участка - AB, BC, CD, в пределах которых эти уравнения справедливы. Начало координат - в крайнем левом сечении балки (рис. 4.89).

В пределах каждого участка выбираем произвольное сечение на расстоянии z от начала координат и составляем выражения для вычисления Q и M:

Участок AB (0<z<1).

Рис. 4.89. К определению поперечной силы Q и изгибающего

момента М в произвольном сечении z участка АВ

Поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении, определяется из выражения

.

Она линейно зависит от переменной z, следовательно, эпюра Q ограничена наклонной прямой.

Изгибающий момент

.

Эпюра изгибающего момента в пределах участка AB ограничена квадратной параболой выпуклой вверх.

Примечание: при записи уравнения и знаки поперечной силы Q и изгибающего момента M определяются с помощью рис. 4.16 и рис. 4.17.

Поперечная сила в начале и конце участка AB:

начало участка, сечение А, z =0,

конец участка, сечение В, z = 1м,

Поскольку поперечная сила на участке AB изменила знак с плюса на минус, проходя при этом через ноль, в сечении с абсциссой z₀, изгибающий момент имеет мак­си­мум.

Расстояние z₀ найдем из выраже­ния:

Q (z₀ ) = P - q· z₀ = 3 - 4· z₀ = 0 .

Очевидно, что

Изгибающий момент в начале и конце участка AB:

начало участка, сечение А, z =0,

конец участка, сечение В, z =1м,

Эпюра изгибающего момента в пределах участка AB ограничена квадратной параболой выпуклой вверх и имеющей максимум.

Максимальный изгибающий момент в сечении с абсциссой z₀

Участок BС ( 1<z<2).

Рис. 4.90. К определение поперечной силы Q и изгибающего

момента М в произвольном сечении z участка ВС

Поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении (рис.4.90)

,

Поперечная сила не зависит от переменной z на протяжении всего участка, и эпюра Q ограничена прямой, параллельной ее оси.

Изгибающий момент

Поскольку изгибающий момент линейно зависит от переменной z, эпюра М ограничена наклонной прямой.

Изгибающий момент в начале и конце участка BС:

начало участка, сечение В, z = 1м,

конец участка, сечение C, z =2м,

Участок СD (2<z<3).

Рис. 4.91. К определению поперечной силы Q и изгибающего

момента М в рассматриваемом сечении z участка СD

Поперечная сила в рассматриваемом сечении с абсциссой z (рис. 4.91):

.

Поперечная сила линейно зависит от переменной z, эпюра Q ограничена наклонной прямой.

Изгибающий момент в рассматриваемом сечении с абсциссой z

.

Эпюра изгибающего момента в пределах участка СD ограничена квадратной параболой выпуклой вниз.

В сечении С приложена пара сил, что на эпюре изгибающих моментов вызывает скачок, величина которого равна величине приложенной пары.

Поперечная сила в начале и конце участка СD:

начало участка, сечение C, z =2 м

конец участка, сечение D, z = 3м,

Поскольку поперечная сила на участке СD изменила знак с минуса на плюс, проходя при этом через ноль, в сечении с абсциссой z₀₁, изгибающий момент имеет мини­мум. Расстояние z₀₁ найдем из выраже­ния:

очевидно, что

Изгибающий момент в начале и конце участка СD:

начало участка, сечение C, z = 2м,

конец участка, сечение D, z = 3м,

Эпюра изгибающего момента в пределах участка СD ограничена квадратной параболой выпуклой вниз и имеющей минимум.

Минимальный изгибающий момент в сечении с абсциссой z₀₁ = 2,125м

0. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Эпюры перечных сил Q и изгибающих моментов М строятся в выбранном масштабе по их значениям на границах участков. Положительные величины откладываются вверх от оси эпюры (эпюра строится на сжатом волокне), отрицательные – вниз. Эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М показаны на рис. 4.92,б,в.

Рис. 4.92. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих

моментов: а - расчетная схема балки; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра

изгибающих моментов

2. Подбор поперечного сечения

2.1.Определение требуемого осевого момента сопротивления поперечного сечения.

Из условия прочности при изгибе требуемый осевой момент сопротивления

.

Учитывая, что по условию задачи = 160 МПа и максимальное по абсолютной величине значение изгибающего момента , определяем значение

.

Заданное сечение является составным, включающим два одинаковых швеллера.

Осевой момент сопротивления подобного сечения определяется по формуле

.

Таким образом, требуемый по условию прочности осевой момент сопротивления швеллера

.

Номер швеллера, имеющего осевой момент сопротивления, близкий к требуемому, определяем по таблице сортамента (ГОСТ 8240-72). Принимаем швеллер № 6,5, для которого .

Максимальное нормальное напряжение, действующее в балке, поперечное сечение которой состоит из двух швеллеров № 6,5

262