2.2. Нелинейная аппроксимация
Под
нелинейной регрессией общего вида
подразумевается нахождение вектора К
коэффициентов произвольной функции
,
при котором обеспечивается минимальная
среднеквадратичная погрешность
приближения исходных точек.
Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется функция
– это
вектор, содержащий параметры, которые
делают функцию
,
наилучшим образом аппроксимированную
к данным в векторах
и
.
Эта функция возвращает вектор К
параметров функции F,
дающий минимальную среднеквадратичную
погрешность приближения функцией
исходных данных.
F должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор Z должен содержать начальные значения элементов вектора К, необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным методом.
Пример 5. Вычисление погрешности аппроксимации.
Погрешность для примера 3 вычислим по формуле:
Получаем:
.
3. Вопросы для самопроверки
-
В чем заключается задача аппроксимации?
-
Какие функции могут быть использованы в качестве аппроксимирующих?
-
Как определяются параметры аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов?
-
Какие подходы возможны для оценки погрешности сглаживания?
-
Какие функции Mathcad используются при решении задачи аппроксимации?
-
Получить систему для нахождения коэффициентов линейной и квадратической аппроксимации.
-
Принцип построения функции S(x) – критерия аппроксимации.
-
Необходимое условие экстремума функции S(x).
-
Как могут быть преобразованы экспериментальные результаты для получения более простой аппроксимирующей функции?
-
Может ли график аппроксимирующей функции пройти через все экспериментальные точки? В каком случае?
4. Варианты заданий для типового расчета
Требуется аппроксимировать зависимость результатов измерения высоты падения тела Y от времени X двумя способами:
-
линейная аппроксимация; 2) квадратическая аппроксимация.
Определить вид аппроксимирующей функции, дающей минимальную погрешность. Определить параметры полученной аппроксимирующей функции.
Сделать вывод о наилучшей аппроксимации экспериментальных данных.
Результаты измерений Варианты заданий
|
номер опыта |
время (с) |
высота (м) |
|
Номер |
Номера |
|
1 |
0,05 |
1,18 |
|
варианта |
опытов |
|
2 |
0,08 |
2,30 |
|
1 |
1-7 |
|
3 |
0,11 |
3,42 |
|
2 |
2-8 |
|
4 |
0,15 |
4,54 |
|
3 |
3-9 |
|
5 |
0,18 |
5,66 |
|
4 |
4-10 |
|
6 |
0,21 |
6,78 |
|
5 |
5-11 |
|
7 |
0,25 |
7,90 |
|
6 |
6-12 |
|
8 |
0,28 |
9,02 |
|
7 |
7-13 |
|
9 |
0,31 |
10,14 |
|
8 |
8-14 |
|
10 |
0,34 |
11,27 |
|
9 |
9-15 |
|
11 |
0,38 |
12,39 |
|
10 |
10-16 |
|
12 |
0,41 |
13,51 |
|
11 |
11-17 |
|
13 |
0,44 |
14,63 |
|
12 |
12-18 |
|
14 |
0,48 |
15,75 |
|
13 |
13-19 |
|
15 |
0,51 |
14,87 |
|
14 |
14-20 |
|
16 |
0,54 |
12,99 |
|
15 |
15-21 |
|
17 |
0,57 |
12,11 |
|
16 |
16-22 |
|
18 |
0,61 |
11,23 |
|
17 |
17-23 |
|
19 |
0,64 |
10,35 |
|
18 |
18-24 |
|
20 |
0,67 |
9,47 |
|
19 |
19-25 |
|
21 |
0,70 |
10,59 |
|
|
|
|
22 |
0,74 |
6,71 |
|
|
|
|
23 |
0,77 |
5,83 |
|
|
|
|
24 |
0,80 |
4,95 |
|
|
|
|
25 |
0,84 |
4,07 |
|
|
|