16

Министерство образования и науки Российской федерации

Костромской государственный технологический университет

Кафедра высшей математики

Воронцова О.Р., Собашко Ю.А.

Аппроксимация экспериментальных данных средствами mathcad

Учебно-методическое пособие для студентов

специальности 230104, 230201, 230203

Кострома

2011

УДК

Воронцова о.Р., Собашко ю.А. Аппроксимация экспериментальных данных средствами MathCad. Учебно-методическое пособие. – Кострома: кгту, 2011. – 14 c.

С Костромской государственный технологический университет

Введение

Миллионы людей, выполняя количественное описание какого-либо процесса, пытаются получить его математическую модель. С этой целью производят ряд измерений одной величины при различных значениях другой. Результаты измерений чаще представлены либо в виде таблицы, либо в виде точечной диаграммы. При этом аналитическое выражение зависимости неизвестно.

Наличие случайных погрешностей делает целесообразным подбор такой функции, которая сглаживала бы случайные ошибки измерений.

Аппроксимация (от дат. approximo - приближаюсь) – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов, например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны.

Основная цель настоящего пособия – привить студентам практические навыки в использовании численных методов при решении прикладных задач с помощью одной из самых мощных и эффективных математических систем - MathCAD 15.0 Professional.

1. Основные понятия

Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических расчетов часто используются зависимости вида y(x), причем число заданных точек (далее узловых) этих зависимостей ограничено. Неизбежно возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками (интерполяция) и за пределами (экстраполяция). Эта задача решается аппроксимированием исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией.

Аппроксимация функций – это процесс нахождения для данной функции при , функции из некоторого определенного класса (например, среди алгебраических многочленов), в том или ином смысле близкой к , дающей её приближенное представление.

В курсе численных методов такие задачи решаются с помощью интерполирования известными полиномами (например, Ньютона или Лагранжа), либо подбором наиболее подходящей функции широко известным методом наименьших квадратов. Чаще всего в качестве аппроксимирующих функций используют следующие:

1. линейная функция , где ;

2. квадратическая функция , где ;

3. степенная функция , где ;

4. показательная функция , где ;

5. логарифмическая функция , где ;

6. обобщенный многочлен где - алгебраический многочлен или - тригонометрический многочлен, где .

Для оценки близости функции и приближающей ее функции используются различные подходы. Наиболее употребительны:

(1)

(2)

(3)

Аппроксимационную функцию g(x) надо искать под условием

(4)

Если для оценки выбрана формула (1), то задача называется задачей точечной равномерной аппроксимации. Если выбрана по формуле (3), то задача называется задачей среднеквадратической точечной аппроксимации.