-
Рациональные кривые и их свойства. Вес контрольной точки. Форма квадратичной nurbs-кривой в зависимости от веса средней контрольной точки.
Рациональные кривые.
Рациональные (rational) кривые, в сравнении с обычными (нерациональными – non-rational) В-сплайнами, обладают двумя важными свойствами:
- обеспечивают корректный результат при проекционных преобразованиях (например, масштабирование), а нерациональные В-сплайны – только при аффинных (например, перемещение).
- их можно использовать для моделирования кривых любого вида, включая конические сечения (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы).
Эти свойства достигаются за счет использования однородных координат.
Точка {x, y, z} – {x, y, z, w}
w – вес (weight) контрольной точки (влияние). Изначально (по умолчанию) w = 1.
При увеличении w увеличивается степень воздействия контрольной точки на форму кривой (кривая сильнее выгибается в сторону контрольной точки).
[рис.]
Существенным является только относительное изменение весов контрольных точек. Если вдвое увеличить веса всех контрольных точек, то форма кривой не изменится.
Пример:
NURBS – кривая второй степени (квадратичная) определяется тремя контрольными точками.
[рис]
Угловой вектор во всех случаях {0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0}
Веса первой и последней узловых точек равны 1.
Если вес центральной точки меньше 1, то кривая – фрагмент эллипса (а).
Если вес равен 1 – парабола (б).
Если вес больше 1 – гипербола (в).
Главный недостаток NURBS-кривых: сложность инструментария для их построения, необходимость определения уровня математической подготовки.
-
Кривые Безье как частный случай NURBS-кривых. Функции смешивания для кривых Безье. Свойства кривых Безье.
Частный случай NURBS-кривых, которые можно определить как взвешенную сумму n + 1 контрольных точек, где все коэффициентов являются полиномы Бернштейна.
Кривые: 1 степени – прямая;
2 степени – квадратичная кривая;
3 степени – кубическая кривая.
[рисунок из лекции]
Свойства кривых Безье:
- начальная и конечная контрольные точки лежат на кривой;
- кривая на всем протяжении непрерывна;
- касательная к кривой в начальной и конечной точках являются отрезками, соединяющими их с другими двумя соседними контрольными точками, через которые кривая не проходит.
- точки на концах касательной будут располагаться на кривой только в том случае, если кривая вырождена (отрезок прямой).
- т. к. Кривая Безье представляет собой взвешенное усреднение всех её контрольных точек с положительными весами, а сумма их равна 1 – кривая всегда располагается внутри выпуклого многоугольника из контрольных точек, как и NURBS-кривая.
- кривую Безье можно рассматривать как пошаговое уточнение формы многоугольника, полученного последовательным соединением её контрольных точек – последовательная аппроксимация. (Вспомнить геометрический алгоритм).
Канонический вид кривой Безье.
Для построения
кривой требуется четыре контрольных
точки. Физически, кривая проходит через
две из них – опорные точки (
).
Одна опорная точка – начальная (t
= 0), другая конечная (t
= 1). Две другие кривой не принадлежат –
управляющие точки (
).
Кривая располагается начальной и конечной точками следовательно кривая Безье – вектор (существенно направление движения по кривой).
Этот факт особенно важен в составных контурах:
- если два векторных объекта (например, образуют букву “О”) и расположены друг на друге направлены в противоположные стороны, то изображение получится верное (с дыркой посередине)
- если векторный контур (тот же пример) направлен в одну сторону, то в этом случае один контур просто перекрывает другой, не образовывая прозрачной области.