Введение

Современный специалист, выпускник экономического вуза, не может обойтись без использования практических навыков по основам математического аппарата во время планирования, организации и управления производством в своей профессиональной деятельности. В связи с этим подготовка специалистов в области применения экономико-математических методов является насущной и актуальной задачей.

Дисциплина «Экономико-математические методы и модели: оптимизационные методы и модели» относится к нормативным дисциплинам, и предназначена для формирования системы знаний по методологии, а также инструментарию построения и использования разных типов экономико-математических моделей, методов их решения и анализа с целью использования в экономике.

Предлагаемое пособие предназначено для ознакомления с теоретическими основами составления и решения оптимизационных моделей, а также овладения практическими навыками решения задач линейной и целочисленной оптимизации, что позволяет обосновать принятие управленческих решений в экономике.

В пособии использован материал, который излагается в рамках курса по экономико-математическому моделированию студентам экономических специальностей согласно образовательно-профессиональной программе подготовки бакалавров по направлениям: «Экономика предприятия», «Учет и аудит», «Финансы и кредит». Простота и доступность изложения, наличие вопросов для самоконтроля, заданий для индивидуальной работы позволяют рекомендовать данное издание студентам экономических специальностей заочной формы обучения, изучающим вопросы применения математических методов в экономике, а также менеджерам и специалистам предприятий, желающим повысить уровень образования в этой области.

Тема 1 концептуальные аспекты математического моделирования экономики

1.1. Понятие модели. Классификация моделей

Объектом исследования курса экономико-математического моделирования является экономические системы и экономические процессы, протекающие в них. Ключевой отличительной особенностью данного объекта исследования от объектов исследования других естественных наук, является то, что над экономическими системами и процессами в большинстве случаев нельзя ставить непосредственные эксперименты для выявления эффективных методов управления ими. В связи с этим, ключевым понятием в курсе экономико-математического моделирования является понятие модели. Модель – реальный или абстрактный объект, который замещает объект-оригинал таким образом, что исследование этого объекта позволяет получить новые знания об объекте-оригинале.

Таким образом, исследователь изучает объект-оригинал (экономическую систему или процесс) не непосредственно, а построив ее модель, которая отражает наиболее важные с точки зрения исследователя закономерности и особенности функционирования объекта-оригинала. Далее ставятся эксперименты над моделью, и результаты, которые получены на основании исследования модели, распространяются и на объект-оригинал.

Под математической моделью будем понимать абстрактную запись основных закономерностей экономического процесса или явления, выраженную с помощью математических формул или соотношений.

Математические модели различают по следующим признакам:

1. Линейные и нелинейные.

Линейной называется такая модель, которая описывается линейными функциями от переменных.

Функция f(x₁, x₂, …, x_n) переменных x₁, x₂, …, x_n является линейной тогда и только тогда, когда для некоторого множества констант с₁, с₂, …, с_n выполняется соотношение f(x₁, x₂, …, x_n) = с₁x₁ + с₂x₂ +… +с_nx_n.

Например, f(x₁, x₂) = 2x₁ + x₂ является линейной функцией переменных x₁, x₂, в то время как f(x₁, x₂) = – является нелинейной.

Неравенства f(x₁, x₂, …, x_n) ≤ b или f(x₁, x₂, …, x_n) ≥ b, где b – некоторая константа, а f(x₁, x₂, …, x_n) – линейная функция также называется линейными неравенствами.

2. Непрерывные и дискретные.

Непрерывность обозначает, что каждая переменная модели может принимать дробные значения (все значения на числовой оси от –∞ до +∞).

Задача, у которой некоторые переменные могут принимать только целые значения, называется целочисленной задачей или дискретной.

Частным случаем дискретной задачи может быть задача с булевыми переменными, в которой переменные могут принимать значение 0 или 1 (например, размещать пожарную бригаду в данном районе или не размещать, принять сотрудника на работу или не принимать и т.п.).

3. Детерминированные и стохастические.

Детерминированная (или определенная) модель подразумевает, что все параметры модели (коэффициенты функций, правые части ограничений) заранее определены, то есть известны. Это значит, что некоторым конкретным значениям переменных соответствует единственно возможное значение функции.

Стохастическая модель предполагает наличие функций, которые являются случайной величиной. Это значит, что некоторые параметры модели неизвестны или являются случайными величинами, и даже если известны значения переменных, установить однозначно значение функции невозможно.

4. Статические и динамические.

Статическая модель это такая модель, все параметры которых не зависят от времени (инвариантны во времени).

В динамической модели – значения параметров меняются во времени.

5. Нормативные и дескриптивные.

Нормативной называется модель, исследование которой позволяет ответить на вопрос: «Как должен происходить процесс?». Такая модель позволяет из множества возможных альтернатив выбрать наилучшую, наиболее эффективную. Среди нормативных моделей значительный подкласс занимают оптимизационные модели.

Дескриптивная (описательная) модель отвечает на вопрос: «Как происходит процесс?». Такая модель позволяет изучить поведение системы, спрогнозировать возможные последствия от принятия тех или иных управленческих решений.