
- •Лекція № 8 Тема: Многочлени над скінченними полями
- •1. Кільце многочленів над скінченним полем
- •2. Операції в кільці многочленів над скінченним полем.
- •3. Конгруентність многочленів над скінченним полем
- •4. Незвідні многочлени над скінченним полем
- •Властивості незвідних многочленів над полем :
- •5. Скінченні поля на базі кілець многочленів
- •6. Примітивні многочлени
- •7. Побудова скінченного поля
3. Конгруентність многочленів над скінченним полем
Для многочленів над скінченним полем, як і для чисел, можна ввести поняття конгруенції.
Означення.
Нехай
,
,
– многочлени
з
.
Многочлен
називається конгруентним
многочлену
за модулем многочлена
,
якщо різниця
ділиться на
.
Цей факт позначають так:
Останнє
співвідношення називається конгруенцією
многочленів
за модулем многочлена
.
Лишок
многочлена
за модулем многочлена
дорівнює остачі від ділення
на
.
Очевидно, у такому випадку при діленні
на
многочлени
і
дають однакову остачу. Процес переходу
від
до
називається зведенням
за модулем
.
Приклад
6.
Знайти лишок многочлена
за модулем
над полем
.
Розв’язання. У прикладі 3 знайдено
За означенням конгруентності многочленів маємо:
.
Приклад
7.
Знайти лишок многочлена
за модулем
над полем
.
Розв’язання. У прикладі 4 знайдено
За означенням конгруентності многочленів маємо:
.
4. Незвідні многочлени над скінченним полем
Означення.
Многочлен
називається
незвідним
над
полем
або
у кільці
,
якщо рівність
,
де
,
– многочлени над
,
виконується тільки за умови, що якийсь
з многочленів
чи
є сталим.
Незвідність
многочленів аналогічна простоті цілих
чисел. Незвідний многочлен не ділиться
ні на який многочлен меншого степеня.
Зокрема, всякий многочлен першого
степеня є
незвідним.
Для незвідності многочлена степеня 2
або 3 над
полем
необхідно
і достатньо, щоб він не мав коренів в
полі
.
Приклад
8.
Знайти
всі незвідні многочлени степенів 2 та
3 над полем
.
Розв’язання.
З
множини всіх многочленів відповідного
степеня, які належать кільцю
,
вилучимо ті, які не мають коренів в полі
.
Ними виявляються один незвідний многочлен
степеня 2
і два незвідні многочлени степеня 3
та
.
Незвідні
многочлени відіграють велику роль в
побудові кільця
,
тому що кожен многочлен з
можна єдиним способом подати у вигляді
добутку незвідних нормованих многочленів
над полем
.
.
де
,
.
Розкладання многочлена на добуток незвідних нормованих многочленів відбувається за допомогою тотожних перетворень, які використовують властивості операцій в кільці многочленів: комутативність, асоціативність додавання і множення многочленів і дистрибутивність множення відносно додавання: винесення спільного множника за дужки, групування доданків, застосування формул скороченого множення тощо. Також можна скористатися методом невизначених коефіцієнтів, в основі якого лежать твердження:
Приклад
9.
Розкласти
многочлен
на
добуток незвідних множників над полем
.
Розв’язання.
Скористаємося
методом невизначених коефіцієнтів.
Оскільки многочлен третього степеня
розкладається на добуток лінійного і
квадратичного многочленів, то будемо
шукати многочлени
і
такі, що справедлива рівність:
або
.
Прирівнюючи
коефіцієнти
при однакових степенях в лівій і правій
частинах рівності, отримуємо систему
для визначення невідомих коефіцієнтів.
Розв’язуючи цю систему над полем
,
будемо мати:
Отже,
.
Для
криптографічних цілей особливо важливі
многочлени, незвідні над скінченним
полем
простої характеристики
.