- •1. Двойственность в линейном программировании 2
- •3. Алгоритм розв’язку двоїстим симплексим методом. 21
- •1. Двойственность в линейном программировании
- •1.1. Несиметричні двоїсті задачі. Теорема двоїстості.
- •1.2. Симетричні двоїсті задачі
- •Види математичних моделей двоїстих задач
- •2. Двоїстий симлекс-метод
- •2.1. Основные идеи двойственного симплекс-метода.
- •2.2. Алгоритм и табличная реализация двойственного симплекс-метода.
- •2.4. Приклад решения злп двойственным симплекс-методом.
- •3. Алгоритм розв’язку двоїстим симплексим методом.
2.4. Приклад решения злп двойственным симплекс-методом.
Рассмотрим на конкретном, Прикладе процесс решения КЗЛП двойственным симплекс-методом. Для этого, опять-таки, вернемся к задаче (1.34)-(1.35), решенной в п. 1.4.3 и п. 1.5.2. Предположим, что произошли изменения в векторе ограничений b в результате которых
Содержание исходной симплекс-таблицы T(1) (за исключением столбца b(β(1))) будет идентично содержанию таблицы, получающейся на последнем шаге алгоритма, рассмотренного в п. 1.4.3. Для вычисления значений b(β(1)) в данном случае можно воспользоваться обратной матрицей, полученной на последней итерации в п. 1.5.2:
В результате имеем:
Как видно из таблицы Т(1), в столбце b(β(1)) содержатся отрицательные элементы b1(β(1)) = - 1/3<0), то есть базис β(1) ={5, 1, 3} не является оптимальным, но в то же время легко убедиться, что он обладает свойствами сопряженного базиса. Отрицательный элемент в b(β(1)) является единственным, поэтому номер столбца, выводимого из базиса, определяется однозначно — r = 1 и N1(β(1))=5. Далее рассматриваем строку a1(β(1)) = (0, -1/6, 0, -1/6, 1). В ней имеются отрицательные элементы. Вычисляем λ2 =42:(-(-1/6))=252, λ4 =38:(-(-1/6))=228. λ2> λ4, следовательно, номер столбца, вводимого в базис — l = 4. Осуществляем преобразование и получаем симплекс-таблицу T(2).
Поскольку b(β(2)) >0, то достигнутый базис N(β(2)) = {4,1,3} является оптимальным. Из Т(2) можно выписать оптимальный план х* = (6, 0, 32/3, 2, 0) и соответствующее ему значение целевой функции f(x*)= 444.
3. Алгоритм розв’язку двоїстим симплексим методом.
Решение системы линейных уравнений, определяемое базисом, называется псевдопланом задачи, если для любого j.
Двойственный симплекс-метод позволяет за конечное число итераций найти оптимальный план двойственно невырожденной задачи, или обнаружить, что множество планов пусто.
Теорема 1. Если в псевдоплане, определяемом базисом из mвекторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого все Координати вектора больше либо равны 0
Теорема 2. Если в псевдоплане, определяемом базисом из m векторов, есть хотя бы одно отрицательное число, для которого хотя бы одна координата вектора меньше 0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции уменьшится.
Теорема 3. При решении задачи двойственным симплекс-методом одновременно строится и оптимальный план другой (двойственной) задачи или устанавливается неограниченность снизу.
Алгоритм двойственного симплекс-метода
Этап 1
Находим псевдоплан задачи.
Этап 2
Проверяем псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.
Этап 3
Выбираем направляющую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине компоненты плана и направляющий столбец находят при подсчете наименьшей по абсолютной величине отношения элементов строки разностей к соответствующим отрицательным элементам направляющей строки.
Этап 4
Находим новый псевдоплан и продолжают действия с этапа 2.
Приклад № 1
Розглянемо задачу:
Решение.
Запишем эту задачу в канонической форме:
Умножив первое и второе уравнения системы ограничений этой задачи на -1, перейдем к задаче вида:
Построим для этой задачи двойственную:
Выберем в качестве базиса векторы: , .
Находим величину Можно выбрать первую или вторую строку направляющей. Тогда по величине направляющим столбцом будет столбец
,.
План:
Координати:
В результате:
Находим величину Направляющая строка - вторая. Тогда по величине
направляющим столбцом будет столбец ,.
План:
Координати:
В результате получили оптимальный план .