1.1. Несиметричні двоїсті задачі. Теорема двоїстості.

У несиметричних двоїстих завданнях система обмежень вихідної задачі задається у вигляді рівностей, а двоїстої - у вигляді нерівностей, причому в останній змінні можуть бути і негативними. Для простоти доказів постановку завдання ус-ловімся записувати в матричній формі.

Вихідне завдання. Знайти матрицю-стовпець X = (x₁, x₂, …, x_n), яка задовольняє обмеженням

(1.1) AX = A₀, Х  0

і мінімізує лінійну функцію Z = СХ.

Двоїста задача. Знайти матрицю-рядок Y = (y₁, y₂, …, y_m), яка задовольняє обмеженням

(1.2) YA  С

і максимізує лінійну функцію f = YA₀

В обох задачах C = (c₁, c₂, …, c_n) - матриця-рядок, A₀ = (b₁, b₂, …, b_m) — матриця-стовпець, А = (a_ij) — матриця коефіцієнтів системи обмежень. Зв'язок між оптимальними планами пари двоїстих задач встановлює наступна теорема.

Теорема (теорема двоїстості). Якщо з пари двоїстих Завдання одне володіє оптимальним планом, то й інша має рішення, причому для екстремальних значень лінійних функцій виконується співвідношення

min Z = max f.

Якщо лінійна функція одної з задач не обмежена, то інша не має рішення.

Доведення. Припустимо, що вихідна задача має оптимальний план, який отримано симплекс методом. Не порушуючи спільності, можна вважати, що остаточний базис складається з т перших векторів A₁, A₂, ..., A_m. Тоді остання симплекс­ таблиця має вигляд табл. 1.1.

Т а б л и ц я 1.1

i	Базис	С базиса	A0	C1	C2	…	Cm	Cm+1	…	cn
				A1	A2	…	Am	Am+1	…	An
1 2 . . . m	A1 A2 . . . Am	C1 C2 . . . Cm	x1 x2 . . . xm	1 0 . . . 0	0 1 . . . 0	... ... . . . .	0 0 . . . 1	x1, m+1 x2, m+1 . . . xm, m+1	… … . . . …	x1n x2n . . . xmn
m+1	Zi - Cj		Z0	Z1 – C1	Z2 – C2	...	Zm – Cm	Zm+1 – Cm+1	…	Zn – Cn

Нехай D — матриця, складена з компонент векторів остаточного базису A₁, A₂, ..., A_m; тоді табл. 1.1 складається з коефіцієнтів розкладання векторів A₁, A₂, ..., A_n вихідної системи по векторах базису, тобто кожному вектору A_j в цій таблиці відповідає та­кий вектор X_j що

(1.3) A_j = DX_j (j= 1,2, ,.., n)

.

Для оптимального плана отримуєм

(1.4) A₀ = DX*,

де X* = (x*₁, x*₂, …, x*_m).

Позначимо через матрицю, складену з коефіцієнтів розкладання векторів А_j (j = 1, 2, ..., n), записанних в табл. 1.1. Тоді, враховуючи співвідношення (1.3) и (1.4), отримуємо:

(1.5) A = D, D^-1A = ,

(1.6) A₀=DX*; D^-1A₀ = X*,

(1.7) min Z= C*X*,

(1.8) = C*—C  0,

де С* = (C*₁, C*₂, …, C*_m), С = (C₁, C₂, …, C_m, C_m+1, …, C_n), a = (C*X₁ – C₁; С*Х₂ - С₂, ..., C*X_n – C_n) = (Z₁ – С₁; Z₂ - C₂; ..., Z_n — C_n) — вектор, компоненти якого не позитивні, так як вони збігаються з Z_j — C_j  0, соответствующими оптимальному плану.

Оптимальний план вихідної задачі має вигляд X* = D^-1 А₀, тому оптимальний план двоїстої задачі шукаємо у вигляді:

(1.9) Y* = C*D^-1.

Покажемо, що Y* дійсно план двоїстої задачі. Для цього обмеження (1.2) запишемо у вигляді нерівності YA — С  0, в ліву частину якого підставимо Y*. Тоді на підставі (1.9), (1.5) та (1.8) отримуємо

Y* А – С = С* D^-1А – С = С* - С  0,

Звідки знаходимо Y*A  С.

Так як Y* задовольняє обмеженням (1.2), то це і є план двоїстої задачі. При цьому в плані значення лінійної функції двоїстої завдання f (Y *) = Y * A0. Враховуючи співвідношення (1.9), (​​1.6) і (1.7), маємо (1.10)

f (Y*) = Y*A₀ = C*D^-1 A₀ = C*X* = min Z(X).

Таким чином, значення лінійної функції двоїстої завдання від Y * чисельно дорівнює мінімальному значенню лінійної функції вихідної задачі.

Доведемо тепер, що Y* є оптимальним планом. Помножимо (1.1) на будь-який план Y двоїстої завдання, а (1.2) - на будь-який план X вихідної завдання: YAX=YA₀=f (Y), YAX  СХ = Z (X), звідси випливає, що для будь-яких планів Х і Y виконується нерівність

(1.11) f (Y)  Z (X).

Цим же співвідношенням пов'язані і екстремальні значення max f (Y) min Z (Х). З останнього нерівності укладаємо, що максимальне значення лінійної функції досягається тільки у випадку, якщо max f (Y) = min Z (X), але це значення [см. (1.10)] f (Y) досягає при плані Y *, отже, план Y * - оптимальний план двоїстої задачі. Аналогічно можна довести, що якщо двоїста задача має рішення, то вихідна також має рішенням і має місце співвідношення max f (Y) = min Z (X).

Для доказу другої частини теореми припустимо, що лінійна функція вихідної завдання не обмежена знизу. Тоді з (1.11) випливає, що f (Y)  - . Цей вираз позбавлене сенсу, отже, двоїста задача не має рішень.

Аналогічно припустимо, що лінійна функція двоїстої завдання не обмежена зверху. Тоді з (1.11) отримуємо, що Z (X)  +. Цей вираз також позбавлено сенсу, по-цьому вихідна задача не має рішень.

Доведена теорема дозволяє при вирішенні однієї з двоїстих завдань знаходити оптимальний план іншої.

Вихідна задача. Знайти мінімальне значення лінійної функції Z = x₂ – x₄ – 3x₅ при обмеженнях

x₁ + 2x₂ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + x₃ + 2x₄ – x₅ = 2, x_ij  0 (j = 1, 2, …, 6)

3x₂ + x₅ + x₆ = 5,

Тут мятриця-рядок С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матриця-стовпець

1 1 2 0 -1 1 0

A₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A’’ = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двоїста задача. Знайти максимальне значення лінійної функції f = y1 + 2y2 +5 y3 при обмеженнях

y₁  0,

2y₁ – 4y₂ + 3y₃  1,

y₂  0,

-y₁ + 2y₂  -1,

y₁ – y₂ + y₃  -3,

y₃  0.

Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2).

I	Базис	С базиса	A0	0	1	0	-1	-3	0
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1 2 3	A1 A3 A6	0 0 0	1 2 5	1 0 0	2 -4 3	0 1 0	-1 2 0	1 -1 1	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		0	0	-1	0	1	3	0
1 2 3	A5 A3 A6	-3 0 0	1 3 4	1 1 -1	2 -2 1	0 1 0	-1 1 1	1 0 0	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		-3	-3	-7	0	4	0	0
1 2 3	A5 A4 A6	-3 -1 0	4 3 1	2 1 -2	0 -2 3	1 1 -1	0 1 0	1 0 0	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		-15	-7	1	-4	0	0	0
1 2 3	A5 A4 A2	-3 -1 1	4 11/3 1/3	3 -1/3 -2/3	0 0 1	1 1/3 -1/3	0 1 0	1 0 0	0 2/3 1/3
m + 1	Zi - Cj		-46/3	-19/3	0	-11/3	0	0	-1/3

Оптимальний план вихідної задачі X* = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при якому Z_min = - 46/3, отриманий у четвертій ітерації табл. 1.2. Використовуючи цю ітерацію, знайдемо оптимальний план двоїстої задачі. Згідно теоремі подвійності оптимальний план двоїстої задачі знаходиться зі співвідношення Y* = C*D^-1, де матриця D^-1 - матриця, зворотна матриці, складеної з компонент векторів, що входять в останній базис, при якому отримано оптимальний план вихідної задачі. Минулий базис входять вектори A₅, A₄, A₂; значить,

1 -1 2

D = (A₅, A₄, A₂) = -1 2 -4

1 0 3

Зворотній матриця D^-1 утворена з коефіцієнтів, що стоять в стовпцях A₁, A₃, A6 четвертої ітерації:

2 1 0

D^-1 = -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

З цієї ж ітерації слідує С* = (— 3; —1; 1). Таким чином

2 1 0

Y = С*D^-1 = (-3; -1; 1)  -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),

тобто. y_i = С*Х_i, де Х_i — коефіцієнти розкладання останньої ітерації, що стоять в стовпцях векторів первісного одиничного базису.

Отже, i-ту двоїсту зміну можна отримати з значення оцінки (m + 1)-й рядки, стоїть проти відповідного вектора, що входив в початковий одиничний базиc, якщо до неї додати відповідне значення коефіцієнта лінійної функції: у₁ = — 19/3 + 0 = — 19/3; y₂ = -11/3 + 0 = -11/3; у₃ = -1/3+0 = -1/3. При цьому план max f = -46/3.