11.5. Нормированные оценки

Для того, чтобы можно было сравнивать числовые характеристи­ки распределения двух или более признаков, измеряемых в разных единицах, необходимо привести значения этих признаков к одной и той же единице измерения. В качестве такой единицы в социологи­ческих исследованиях принято использовать нормированную оценку, или, что то же самое, z-оценку

Нормированная оценка z- значения х. определяется следующим равенством:

х, -х

.

S

z_i =

Здесь х — средняя, S — стандартное отклонение.

Величина | z-| (модуль z) показывает, на сколько единиц стан-дартного отклонения значение х. отклоняется от среднего, а знак z. — в какую сторону от среднего значения отклоняется х: если z- < 0,

236

социология. общий курс

Тема 11. Формально-математические методы прикладного социологического исследования 237

то xi отклоняется в сторону меньших значений, при z_i > 0 — в сторону больших значений.

Если все значения x_i заменить их нормированными оценками, то в полученном ряде распределения средняя будет равна 0, а стан­дартное отклонение — 1.

Иногда график распределения (полигон и гистограмму) строят не для относительных частот, а для нормированных оценок. Это дает возможность сравнивать два распределения совершенно различных признаков по их наглядному представлению.

Отметим, что графики одного и того же распределения, постро­енные для относительных частот и для нормированных оценок, имеют одну и ту же форму, они могут различаться только масштабом по осям координат.

Очевидно, что, чем короче интервалы, тем точнее гистограмма характеризует распределение. В идеальном случае, если каждый ин­тервал содержит всего по одному значению, верхняя граница гисто­граммы превращается в полигон.

Рассмотрим две характеристики графика ряда распределения.

Асимметрия As — степень отклонения графика от симметрично­го вида относительно средней. Показатель асимметрии вычисляется по формуле:

.

n

As =

Здесь z_i и n_i — z-оценка и эмпирическая частота значения x_i, n — объем выборки. Для симметричного распределения асимметрия рав­на 0. Неравенство As > 0 означает, что в распределении чаще встреча­ются значения, меньшие средней, As > 0 обозначает обратное.

Эксцесс Ex — показатель плосковершинности или остроконеч­ности графика.

z_i ⋅ni

Ex =

-3.

n

Островершинное распределение характеризуется положитель­ным эксцессом, плосковершинное — отрицательным. Средневер-шинное распределение имеет нулевой эксцесс.

∑

11.6. Нормальное распределение

Иногда два совершенно различных по своей природе признака имеют очень похожие графики распределения. Так как график полностью характеризует распределение, то такое совпадение оказывается весь­ма полезным: можно подробно изучить одно из этих распределений и обо всех свойствах другого судить по уже изученному.

Еще в XIX веке было доказано, что основные демографические показатели (продолжительность жизни, возраст вступления в брак), а также многие антропометрические признаки (рост, вес) подчинены строгой закономерности: чаще всего в распределении встречаются средние значения и близкие к ним; чем больше отклонение значе­ния от средней, тем реже это значение встречается в общем числе наблюдений.

В дальнейшем в медицинских, психологических, социологических исследованиях было доказано, что и многие другие признаки удовле­творяют этим свойствам. Речь идет о так называемом нормальном, или, что то же самое, гауссовом, распределении (по имени немецкого математика Гаусса, внесшего большой вклад в развитие всех разделов математики, и, в частности, математической статистики).

График нормального распределения называется нормальной кри­вой и выглядит следующим образом:

0 +1 +2

Рис. 11.3

Французский математик Муавр нашел аналитический вид функ­ции, графиком которой является нормальная кривая:

-(x-x)

y(x) =т=⋅e ^2S . S*J2π

238

социология. общий курс