7.11. Розв’язування лінійної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння другого порядку методом скінченних різниць

Вище розглядались задачі для звичайних диференціальних рівнянь, в яких додаткові умови задавались лише в одній точці (задачі Коші). Проте часто в прикладних задачах значення функції та її похідних фіксуються в декількох точках. Такі задачі для диференціальних рівнянь називаються багатоточковими задачами. Серед багатоточкових задач найпростішими є так звані крайові (граничні) задачі, в яких додаткові умови задаються в двох точках – кінцях відрізку, на якому розглядається задача.

Розглянемо найпростішу лінійну крайову задачу для звичайного диференціального рівняння другого порядку:

.

(7.64)

Перейдемо до різницевого рівняння. Розіб’ємо відрізок на n частин: . Множину точок часто називають сітковою областю. Введемо такі позначення:

;

;

;

;

.

Розглянемо тепер різницеву крайову задачу. Приймаємо, що . Можуть застосовуватись такі апроксимації:

• за допомогою правої різницевої похідної

;

• ліва різницева похідна

;

• центральна різницева похідна

.

Апроксимація другої похідної:

.

Тоді відповідно (7.64) матимемо

, , , .

(7.65)

Отримали різницеву крайову задачу, що апроксимує задачу (7.64).

Різницеву задачу (7.65) можна записати в наступному вигляді:

, , , ,

(7.66)

де ; ; .

Задача (7.66) є системою лінійного рівняння з невідомими . В розгорнутому вигляді вона записується так:

Матриця коефіцієнтів біля невідомих в цій системі є тридіагональною матрицею

.

Теорема 7.2 (ознака розв’язності системи різницевих рівнянь) [11, 30]. Якщо виконуються умови:

1. крок вибраний настільки малим, що

;

2. для всіх ,

то система рівнянь (7.66) має єдиний розв’язок.

Опишемо метод прогонки для системи (7.66).

Будемо знаходити розв’язок у вигляді

, .

(7.67)

Ця рівність буде виконуватись при , якщо покласти .

Далі за (7.67)

.

Підставимо цей вираз у (7.66):

,

або

.

Порівнюючи останній вираз з (7.67), отримаємо

, , .

(7.68)

Формули (7.68) (з урахуванням ) складають алгоритм прямого ходу в методі прогонки.

Згідно (7.67) знаходимо формули оберненого ходу для визначення невідомих :

,

.

Аналогічно можна подати алгоритм лівої прогонки:

прямий хід

, , ,

;

обернений хід

,

.

Таким чином, алгоритм розв’язання задачі (7.65) полягає в обчисленні коефіцієнтів , ,  () та подальшому застосуванні формул прямого і оберненого ходу методу лівої або правої прогонки.