7.7.2. Метод Мілна-Сімпсона

Інший розповсюджений метод прогнозу-корекції – метод Мілна-Сімпсона. Його прогноз базується на інтегруванні функції f (x, y(x)) на інтервалі [x_i-3, x_i+1]

(7.39)

Прогноз використовує наближення поліномом Лагранжа для f (x, y(x)), побудований по точках (x_i-3, f_i-3), (x_i-2, f_i-2), (x_i-1, f_i-1) та (x_i, f_i). Інтегруємо його на інтервалі [x_i-3, x_i+1] і отримуємо прогноз Мілна:

(7.40)

Коректор отримуємо аналогічно. На цьому етапі можна використовувати значення p_i+1. Будуємо наступний поліном Лагранжа для функції f (x, y(x)) по точках (x_i-1, y_i-1), (x_i, y_i) і новій точці (x_i+1, f_i+1) = (x_i+1, f (x_i+1,p_i+1)). Інтегруємо поліном на відрізку [x_i-1, x_i+1] і в результаті отримаємо відому формулу Сімпсона:

(7.41)

Оцінка помилки та корекція. Залишковий член формули чисельного інтегрування використовується для отримання як прогнозу, так і коректора порядку О(h⁵). ЛПВ для формул (7.40) та (7.41) дорівнює

(ЛПВ для прогнозу)	(7.42)
(ЛПВ для коректора)	(7.43)

Припустимо, що крок h настільки малий, що y⁽⁵⁾(x) майже стала на інтервалі . Тоді з формул (7.42) і (7.43) можна виключити члени, які містять похідну п’ятого порядку, і в результаті отримати формулу:

(7.44)

Формула (7.44) дає оцінку прогнозу, яка базується на обчисленні значень і та не використовує . Її можна використовувати для покращення значень прогнозу. Якщо припустити, що різниця між значеннями прогнозу і корекції на кожному кроці змінюється повільно, то можна підставити і замість і в (7.44) та отримати наступний управляючий параметр:

.

(7.45)

Його значення використовується замість на кроці корекції, і формула (7.41) приймає вигляд:

(7.46)

Таким чином, покращений модифікований метод Мілна-Сімпсона має вигляд:

(прогноз) (управляючий параметр) (коректор)

(7.47)

7.7.3. Метод Хеммінга

Ще один важливий метод розв’язування задачі Коші з початковою умовою y(a)=y₀ на інтервалі [a, b] – метод Хеммінга. Прогноз, як і в попередніх методах, базується на наближенні поліномом Лагранжа для f (x, y(x)). Він будується по точках (x_i-3, f_i-3), (x_i-2, f_i-2), (x_i-1, f_i-1) та (x_i, f_i). При інтегруванні отримаємо прогноз Хеммінга:

(7.48)

Коректор отримаємо, будуючи ще один поліном Лагранжа для функції f (x, y(x)) по точках (x_i-1, f_i-1), (x_i, f_i) і новій точці (x_i+1, f_i+1) = (x_i+1,  f (x_i+1,p_i+1)). В результаті одержуємо формулу:

(7.49)

Управляючий параметр:

.

(7.50)

Методи прогнозу-корекції при великому кроці можуть бути нестійкими. В таких умовах похибка збільшується від кроку до кроку, що і обумовлює нестійкість. Для забезпечення стійкості розглянутих методів потрібно корегувати крок на етапі його вибору. Крок вибирається згідно нерівностей:

	(в методі Адамса-Бешфорса-Маултона)	(7.51)
	(в методі Мілна-Сімпсона)
	(в методі Хеммінга)

Методи Адамса-Бешфорса-Маултона, Мілна-Сімпсона і Хеммінга дозволяють отримати результати з високим рівнем точності за невелику кількість кроків.