7.3. Метод Ейлера та його модифікації розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Задача про знаходження розв’язку диференціального рівняння

, ,

(7.2)

що задовольняє початковій умові

,

(7.3)

називається задачею Коші.

Геометрично ця задача полягає у відшуканні інтегральної кривої рівняння (7.2) , яка проходить через задану точку .

Існування і єдиність розв’язку задачі Коші забезпечується наступною теоремою.

Теорема 7.1 (теорема Пікара) [20, 23]. Якщо функція визначена і неперервна в області , що містить прямокутник , та задовольняє в цій області умову Ліпшиця по y, тобто

,

де L – певна стала, то в цьому випадку на проміжку існує єдиний розв’язок задачі Коші (7.2)-(7.3).

При знаходженні наближеного розв’язку задачі (7.2)-(7.3) за допомогою чисельних методів на проміжку вибирають систему розрахункових точок (вузлів) , де , – розрахунковий крок, і в цих точках знаходять наближені значення точного розв’язку .

Основи чисельних методів розв’язування диференціальних рівнянь заклав Л. Ейлер (L. Euler). Його іменем названий один з найпростіших, проте ключових методів розв’язування задачі Коші.

7.3.1. Метод Ейлера

Нехай – шуканий розв’язок задачі Коші (7.2)-(7.3). Підставляючи цей розв’язок в рівняння (7.2) та інтегруючи отриману тотожність на кожному з проміжків , одержимо

, , .

(7.4)

Якщо h – досить малий крок, то завдяки неперервності функції можна вважати, що є сталою функцією на кожному з проміжків , тобто

.

Тоді співвідношення (7.4) приймуть вигляд

, , ,

(7.5)

де . Формули (7.5) називаються методом Ейлера.

Існують й інші способи побудови методу Ейлера: геометричний спосіб, застосування формули Тейлора, різницевий спосіб, квадратурний спосіб та ін.

Розглянемо геометричну інтерпретацію методу Ейлера (рис. 7.1). Користуючись тим, що в точці відоме і значення розв’язку (згідно (7.3)), і значення його похідної (згідно (7.2)), можна записати рівняння дотичної до графіка функції в точці :

.

(7.6)

При достатньо малому кроці h ордината цієї дотичної, отримана підстановкою в праву частину (7.6) значення , за неперервністю повинна мало відрізнятися від ординати розв’язку задачі (7.2)-(7.3). Звідси слідує, що точка перетину дотичної (7.6) з прямою може бути наближено прийнята за нову початкову точку. Через цю точку знову проведемо пряму , яка вже наближено відображає поведінку дотичної до в точці . Підставляючи сюди , іншими словами перетинаючи „дотичну” прямою , отримаємо наближення значення значенням . Аналогічно через точку проведемо пряму з кутовим коефіцієнтом і т.д. Як бачимо, внаслідок цього ми одержуємо формули (7.5), що виражають ординати точок ламаної лінії. Отже, наближений розв’язок задачі (7.2)-(7.3) є ламаною лінією , яка називається ламаною Ейлера.

Рис. 7.1. Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Таким чином, побудова таблиці значень функції, яка є розв’язком задачі Коші (7.2)-(7.3), полягає в послідовному застосуванні двох формул:

,

, .

Приклад 7.3. Розв’яжемо методом Ейлера задачу Коші

,

(7.7)

на проміжку . Порівняємо результати розв’язків для кроків .

На рис. 7.2 показані графіки розв’язків задачі (7.7) методом Ейлера з різними значеннями кроку та крива, що відповідає точному розв’язку . Для кроку обчислення за формулами методу Ейлера (7.5) мають вигляд:

1) ;

2) ,

;

3) ,

і т.д.

Рис. 7.2. Порівняння розв’язків задачі Коші (7.7) методом Ейлера

для різних значень кроку h

Ітерації продовжуються до тих пір, поки знаходиться в межах заданого проміжку , тобто . Останнім кроком є

,

Метод Ейлера, як видно з рис. 7.1, має похибку. Локальна похибка, наявна на кожному кроці, визначається різницею між точним значенням функції та відповідним значенням „дотичної”. Для першого кроку:

(7.8)

З (7.8) видно, що локальна похибка, або іншими словами, покрокова погрішність, пропорційна . Сумарна похибка після N кроків пропорційна , оскільки , то , тобто метод Ейлера є методом першого порядку точності по h.

Таким чином, метод Ейлера дає досить грубе наближення розв’язку задачі Коші, його використовують зазвичай тоді, коли хочуть отримати приблизне уявлення про розв’язок задачі на деякому проміжку.

Існують різні модифікації методу Ейлера. Ці модифікації направлені на уточнення напрямку переходу з точки в точку . Розглянемо декілька простих модифікацій цього методу. Зауважимо, що всі наведені нижче методи є методами другого порядку точності, тобто локальна похибка на кожному кроці має порядок .