Наближені методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь

Наближені методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь поділяються на дві основні групи: аналітичні та чисельні. За допомогою аналітичних методів розв’язок звичайного диференціального рівняння отримують в аналітичному вигляді. До цієї групи методів відносяться: метод степеневих рядів, метод послідовних наближень Пікара, метод малого параметру та інші. Чисельні методи дозволяють отримати наближений розв’язок у вигляді множини числових значень, обчислених для деякої дискретної множини точок відрізку інтегрування (іншими словами, у вигляді таблиці значень). До чисельних методів належать: метод Ейлера та його модифікації, методи Рунге-Кутта, багатокрокові методи (Адамса-Бешфорса-Маултона, Мілна-Сімпсона, Хеммінга) та інші.

1. Метод степеневих рядів

Теорія степеневих рядів може застосовуватись для побудови наближеного розв’язку звичайних диференціальних рівнянь. Вона є еталонною, оскільки з нею порівнюють точність чисельних методів при розв’язанні задачі Коші.

Звичайне диференціальне рівняння -го порядку символічно записують так:

, .

Початкові умови для диференціального рівняння задають в початковій точці

.

Тут – наперед задані числа. Це є задача Коші.

Даний метод розв’язує цю задачу у вигляді рядів Тейлора

, ,

де – невідомі коефіцієнти, які визначаються в процесі розв’язання. Перші коефіцієнтів знаходяться з початкових умов задачі Коші:

, , ,...,.

Для визначення всіх наступних коефіцієнтів , ,... слід використовувати диференціальне рівняння, попередньо розв’язуючи його відносно старшої похідної :

, .

Якщо покласти в останньому рівнянні та прийняти попередні значення , отримаємо значення . Такий спосіб дозволяє знайти послідовно всі наступні значення коефіцієнтів розв’язку задачі Коші. Реально побудований розв’язок містить частину ряду Тейлора

, ,

де – ціле число.

Приклад 1. Знайти перші сім членів розкладу в степеневий ряд розв’язку задачі Коші:

, ,

, .

Розв’язок задачі представимо у вигляді степеневого ряду:

.

Безпосередньо з початкових умов маємо

, .

Для визначення наступних коефіцієнтів , розв’яжемо рівняння відносно старшої похідної

.

Тепер, використовуючи початкові умови, матимемо

.

Диференціюючи ліву і праву частини рівняння для , отримаємо:

,

,

,

.

Якщо тепер використати початкові умови та значення , можна послідовно визначити всі величини . Застосовуючи цю операцію чотири рази отримуємо наближений розв’язок задачі Коші. В результаті, розв’язок задачі, з використанням семи членів степеневого ряду, має вигляд

.

Звичайно, існують й інші методи, що застосовують розкладання у степеневі ряди. Вони дозволяють знайти розв’язок з високою точністю, похибка має порядок . Але для цього необхідне попереднє задання та обчислення похідних високих порядків, що ускладнює розв’язок задачі. Тому розвиток отримали методи, що виключають необхідність обчислення похідних, наприклад методи Рунге-Кутта.

2. Метод послідовних наближень Пікара

Шарль Еміль Піка́р (Charles Émilе Picard) (1856-1941) – французький математик, член Паризької Академії Наук (1889), її президент у 1910 р., член Французької Академії (1924), іноземний член-кореспондент Петербурзької Академії Наук (1895) та іноземний почесний член Академії Наук СРСР (1925). Закінчив Вищу нормальну школу в Парижі (1877), з 1881 р. професор цієї школи, а з 1886 р. – Паризького університету. Викладав на Паризькому, Тулузькому факультетах наук, в Сорбонні, в Центральній школі мистецтв і ремесел. Основні роботи присвячені теорії функцій, теорії диференціальних рівнянь тощо. Сформулював загальну теорему Пікара про поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки. Розробляв також теорію функцій комплексної змінної, займався історією та філософією математики.

Для інтегрування диференціального рівняння при деякій початковій умові використовують початкову функцію і обчислюють послідовні наближення до шуканого розв’язку:

.

(1)

Метод Пікара особливо зручний, якщо інтеграли в такому вигляді є замкненими. При цьому можна застосовувати і саме інтегральне числення.

При реалізації цього підходу будуємо шуканий розв’язок у вигляді і знаходимо його для . Формальне використання формули Ньютона-Лейбница дозволяє отримати представлення у вигляді:

або

.

Використовуючи останнє можна отримати перше наближення

.

Всі наступні наближення отримуються згідно (1).

Якщо функція є диференційованою, то послідовність є збіжною на відрізку , тобто

.

Метод послідовних наближень застосовується в тому випадку, коли можуть бути обчислені інтеграли в кожному наближенні.

Приклад 2. Знайти методом послідовних наближень розв’язок задачі Коші

, , .

Послідовні наближення отримуємо за формулою (1):

,

,

,

.

Точним розв’язком цієї задачі є . Для перевірки отриманого розв’язку за методом послідовних наближень, розкладемо функцію в ряд:

.

Таким чином, результати співпадають.