1. Статика Определение реакций опор при действии плоской произвольной системы сил Основные сведения из теории
Плоской произвольной системой сил называется система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости (рис. 10, а).
Рис. 10
Любую такую систему сил можно упростить, приведя ее к произвольному центру (рис. 10, б).
При
этом в центре приведения будут приложены
два вектора: главный
вектор
,
равный геометрической сумме всех сил
системы
и главный момент
,
равный геометрической сумме моментов
всех сил системы относительно центра
приведения. При любом
значении главного момента системы,
кроме нулевого, его вектор перпендикулярен
плоскости, содержащей силы системы.
Поэтому
в случае плоской произвольной системы
сил принято говорить
об алгебраическом моменте и на рисунке
показывать только направление
поворота (рис. 10, в).
Рис. 10, в Рис. 11
Алгебраическим моментом силы относительно точки (центра) называется произведение модуля силы на плечо.
Если
сила
стремится
повернуть тело вокруг точки О
против хода
часовой стрелки, то момент положителен,
если же по ходу часовой
стрелки, то отрицателен
,
(рис.
11). Момент силы относительно точки
(центра) равен нулю,
если линия действия силы проходит через
эту точку, так как при этом плечо равно
нулю,
(рис. 11).
Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, называется парой сил (рис. 12 и 13).
Рис. 12 Рис. 13
Кратчайшее расстояние между линиями действия этих сил называется плечом пары. Так как две силы, равные по модулю и направленные в разные стороны, не лежат на одной линии действия, то тело, к которому приложена пара сил, не находится в равновесии. Мерой действия пары сил является величина, называемая ее моментом. Момент пары сил равен по абсолютной величине произведению модуля одной из сил пары на плечо. Если пара сил стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, то момент пары положителен, (рис. 12); если по ходу часовой стрелки, то отрицателен (рис. 13). Пара сил может быть уравновешена только парой сил.
При рассмотрении плоской произвольной системы сил пару сил показывают условной парой или направлением поворота (рис. 14).
Рис. 14
Для плоской произвольной системы сил необходимыми и достаточными условиями равновесия являются равенство нулю главного вектора и главного момента системы относительно центра приведения:
.
Этим двум условиям равновесия соответствуют три уравнения равновесия, два из которых – уравнения проекций главного вектора на систему отсчета и третье уравнение моментов относительно центра приведения:
,
,
- основная или первая форма уравнений
равновесия.
Существуют еще две формы уравнений равновесия: вторая, содержащая одно уравнение проекции главного вектора и два уравнения моментов сил системы относительно двух центров приведения:
,
,
- вторая форма уравнений равновесия.
Эта система уравнений равновесия имеет ограничения: ось, на которую проецируются все силы системы не может быть перпендикулярна отрезку, соединяющему центры приведения (рис. 15, а).
а) б) С
А
В 
А В
х
Рис. 15
Третья форма уравнений равновесия плоской произвольной системы сил содержат три уравнения моментов сил системы относительно трех центров приведения:
,
,
- третья форма уравнений равновесия.
Она тоже имеет ограничения: центры приведения не должны лежать на одной прямой (рис. 15, б).
Плоской параллельной системе сил соответствуют две формы уравнений равновесия:
1)
,
2)
,
.
.
Распределенная нагрузка характеризуется интенсивностью q, то есть нагрузкой, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в нъютонах, деленных на метры.
Равнодействующая численно равна площади графика, занимаемого нагрузкой.
Приведем некоторые примеры распределенных сил, лежащих в одной плоскости (рис. 16).
а) б)
Рис. 16
1.
Силы, равномерно распределенные вдоль
нагруженного отрезка
прямой
(рис.16, а). Для такой системы сил
интенсивность q
имеет
постоянное значение. При статических
расчетах эту систему сил
можно заменить равнодействующей
,
которая численно равна
площади прямоугольника, высота которого
q,
а основание l.
.
Приложена
в
точке, проходящей через центр
тяжести прямоугольника,
т.е. делит основание АВ
пополам.
2. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 16, б). Равнодействующая Rq численно равна площади треугольника АВС:
.
и
приложена на расстоянии
от стороны ВС.
При решении задач иногда полезно использовать теорему Вариньона, которая формулируется следующим образом: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.
Задача 1. Определить реакции RA и RB опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис.18, а.
Рис. 18
Решение.
1.
Составление
расчетной схемы.
Объект равновесия – балка
АС.
Активные силы: F
= 3
кH,
пара сил с M
= 4
кH∙м
распределенная
нагрузка
с интенсивностью q
= 1
кН/м,
которую
заменяем
одной сосредоточенной
силой
Rq
=
q∙1=1∙3
= 3
кH;
приложенной к точке D
на расстоянии 1,5
м
от
края консоли. Применяя принцип
освобождаемости от связей изобразим
в точках А
и В
реакции. На балку действует плоская
произвольная
система сил, в которой три неизвестных
реакции
и
.
Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх.
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия:
,
(1)
,
(2)
.
(3)
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции
из (1):
кН,
из
(3):
,
из
(2):
кН.
Величина реакции RAх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рис. 18, а в противоположную сторону.
Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.
.
Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:
- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.
Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.
Задача 2. На балку с защемленным концом (рис. 19, а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.
а) б)
Рис.19