![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •Тема 3. «теория вероятностей и мат.Статистика»
- •II. Материалы к собеседованию. Производные и дифференциалы.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •15. Случайная величина принимает значения: -0,10; 0,00; 0,10; 0,30; с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
- •20. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Ответы, указания, решения. Тестовые задания. Тема №1: «Дифференциальное и интегральное исчисления»
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Дифференциальные уравнения.
1.
;
.
При ползучести σ
= const.
;
;
.
При t
= 0, ε
= 0 и С =0.
.
2.
;
.
При релаксации:
.
.
;
;
.
При t
= 0,
,
тогда константа
.
,
,
,
где
- время релаксации.
3.;
;
dt;
;
;
=
;
|
|
=
;
;
;
;
.
4.;
;
;
;
.
При t
= 0 ε =
.
=
;
. Здесь
- время упругого последействия.
5.1).
Опишем на языке знаков условие задачи.Т
- температура тела в произвольный момент
времени t,
Т1
= 35,50
С
- температура тела в момент первого
наблюдения, Т2
= 35,00
С - температура тела в момент второго
наблюдения, Т0
= 220
С - постоянная температура окружающей
среды, ТN
= 36,70
С - температура тела в момент смерти, τ
= 9 часов 30 минут - момент первого
наблюдения, t
- время, прошедшее с момента наступления
смерти, t1
- время, прошедшее с момента наступления
смерти до первого наблюдения, t2
- время, прошедшее с момента наступления
смерти до второго наблюдения,Δt
= 1 час - промежуток времени между первым
и вторым наблюдением, t2
= t1
+ Δt,
k
- коэффициент пропорциональности между
скоростью охлаждения и разностью
температур тела и окружающей среды.2).
Составим знаковую модель в виде
математической модели.,
где знак « - » означает охлаждение. 3).
Решим дифференциальное уравнение,
разделив переменные.
,
,
,
.
4).
Получим частное решение уравнения
(решим задачу Коши).,
.
Константу скорости охлаждения k находим:
Разделив (1) на (2) получаем константу k:
5).
Вычисляем момент наступившей смерти:
t1 = 2,26 часа ≈ 2 часа 15 минут
Момент смерти: τ - t1 = 9 часов 30 минут - 2 часа 15 минут = 7 часов 15 мин по местному времени.
6.
;
;
;
.
7.;
λ
;
λ
.
,
где
- вероятность безотказной работы.
8.;
λ
;
λ
.
9.1).Проанализируем условия стационарного течения по трубке: при стационарном течении вязкой жидкости по трубке объёмная скорость течения (расход) жидкости постоянен во времени. Отсюда следует, что слой жидкости, находящийся на некотором расстоянии от оси трубки должен двигаться с определённой неизменной во времени скоростью, т.е. в трубке должно наблюдаться «телескопическое» течение. Каждый из коаксиальных цилиндрических слоёв должен иметь постоянную скорость.
2). Истолкуем полученный результат с позиций законов динамики: с точки зрения законов динамики описанная ситуация возможна только в случае скомпенсированного действия сил на каждый из тонких коаксиальных слоёв.3). Проиллюстрируем сказанное рисунком.
V = const, FТ = FД
4).
Запишем равенство сил, используя понятие
напряжение сдвига, реологический закон
Ньютона и приняв во внимание, что градиент
скорости направлен от стенки трубки к
оси: для приосевого цилиндра радиуса
rFД
=,
FТ
=
откуда
для любой жидкости. Для ньютоновской
жидкости
,
поэтому
.
5). Решим полученное обыкновенное
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, частное решение получим,
приняв во внимание условие на стенке
трубки V
= 0 при r
=R.
Ответ:
откуда
,
,
,
.
10.
.
Подстановка
полученного выражения второй производной
висходное уравнение обращает его в
тождество.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.;
. Пусть
,
тогда для
порядок дифф.ура окажется ниже на
единицу.
;
;
;
;
;
;
;
. Полученное общее решение легко
идентифицируется с законом движения
при прямолинейном равноускоренном
движении, который изучался Вами в 8
классе средней школы.
проекция ускорения на ось х,
-
начальная скорость,
-
начальная координата.
13.
См. решение задачи 12.
,
,
Возможны два случая:
и
.
В первом случае проекция ускорения
будет положительна
,
а во втором
– отрицательна.
14.См. решение задачи 12,13.
15.См. решение задачи 12,13.
16.
;
;
;
;
;
;
{
17.
1). Уравнение:
― обыкновенное дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными.
2).
.
3).
. 4).
.
5).
;
,
где
.
И окончательно:
.
18.
19.
20.
.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25. 1). Если A – наличное количество жителей города в момент времени t, то по условию прирост за время dt будет dA =k1·A·dt, где k1 – коэффициент пропорциональности. Отсюда найдём скорость прироста:
2).
Кроме того, население увеличивается
за счёт иммиграции, так что скорость
прироста населения в целом равна:
где
k2
– отличный от k1
коэффициент
пропорциональности.
3).
Полагая в полученном уравнении:
будем иметь:
4).
Выберем функцию v
таким образом, чтобы выражение в скобках
обратилось в нуль, т.е.
Из этого уравнения найдём v:
.
5). Из уравнения
определяем
Итак,
Из начального
условия A(0) = A0
находим:
Тогда искомая зависимость числа жителей
города от времени выразится формулой:
26.1).
Уравнение с разделяющимися переменными
приведём к уравнению с разделёнными
переменными, разделив обе части уравнения
на произведение
,
:
.
2). Интегрируем полученное уравнение:
.
В нашем случае для упрощения вида общего решения, произвольную постоянную удобнее записать в логарифмическом виде:
.
Тогда общий интеграл (общее решение) уравнения примет вид:
.
3). Выражаем из
последнего равенства
и
получаем общее решение исходного
уравнения:
.
4). При делении на
предполагалось,
что
,
то есть
(
для любых
).
Проверкой убеждаемся, что у = 0 можно
получить из формулы общего решения при
С1 = 0. Следовательно, у = 0 – частное
решение.5). Выделим интегральную кривую,
проходящую через точку (1;2). Для этого
подставим значения х = 1 и у = 2 в общее
решение и определим соответствующее
значение С1:
.
Итак,
- искомая интегральная кривая.
27.
Обозначим численность населения
России в момент времени
.
Дифференциальное
уравнение исследуемого процесса
(скорость «прироста» численности
населения) имеет вид
,
где
– коэффициент пропорциональности.
Учитывая, что
,
имеем
- общее решение уравнения.
Согласно условию
задачи
145
при
.
Находим частное решение:
,
т.е. С =145,
.
Найдём значение
коэффициента
,
зная, что в конце 2000 года, т.е. при
1,
население России равно
млн человек:
.
Отсюда
,
т.е.
.
Равенство
теперь можно переписать так:
.
Таким образом через 20 лет численность населения составит:
При α = 2%:
(млн
человек);
при α = -1%:
(млн
человек).
28. 1). «Функция удовлетворяет уравнению» означает, что при подстановке её и её производных в уравнение, оно обратится в тождество.
2). Найдём первую
производную функции
по
t:
3). Найдём вторую
производную функции
по t:
4). Получим
произведение:
5). Учитывая, что
получим:
.
6). Сложив полученные
выражения для
и приводя подобные, убеждаемся в равенстве
нулю полученной суммы:
7). Т.о. функция
обращает
равенство (дифференциальное уравнение)
в тождество, т.е. она удовлетворяет
дифференциальному уравнению и является
одним из решений этого уравнения.
29. По второму закону Ньютона, на движущееся тело действует сила
Дифференциальное уравнение движения в проекциях на вертикальную ось
Постоянные интегрирования С1 и С2 найдём из начальных условий v = v0, S = 0 при t = 0. Имеем C1 = v0, C2 = 0. Таким образом, закон движения брошенного вверх тела под действием силы тяжести выражается зависимостями
30.Рассмотрим электрические свойства отрезка аксона длиной Lи радиусом осевого цилиндра r. Толщину мембраны обозначим через h.
Пусть
-удельное
сопротивление аксоплазмы и
- удельное сопротивление мембраны.
Электрическое
сопротивление отрезка аксона для
аксиального тока
обозначим
как
.
.
Сопротивление единицы длины
,
так как все единицы числом L
соединены последовательно.
Электрическое
сопротивление мембраны отрезка аксона
длины L обозначим, как
и найдём , учитывая направление тока
через мембрану
.
.
Учитывая, что сопротивления L
единиц длины для тока через мембрану
окажутся соединёнными параллельно,
рассчитаем сопротивление
,
приходящееся на единицу длины.
.
Обозначим
и
назовём её постоянной длины нервного
волокна .
(1).
Рассчитаем теперь
аксиальный ток на отрезке нервного
волокна
,
воспользовавшись законом Ома для
однородного участка электрической цепи
.
.
Силу электрического
тока через мембрану
можно
рассчитать, пойдя двумя путями.
Первый путь основан
на законе сохранения электрического
заряда. Применительно к рассматриваемому
случаю, сила мембранного тока будет
равна убыли аксиального тока на участке
.
То есть:
.
(2)
С другой стороны
тот же самый мембранный ток должен
пройти через мембрану, эквивалентная
схема которой представляет параллельно
соединённые сопротивление мембраны
и ёмкость мембраны
.
.
(3)
Приравняв левые части выражений (2) и (3), получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которое получило название «кабельное уравнение» или «телеграфное уравнение».
(4)
Из уравнения:
можно получить уравнения для двух
частных случаев.
В первом случае
получается «стационарное телеграфное
уравнение», если предположить, что
потенциал V на мембране
удерживается постоянным в точке с
координатой x = 0. Для этого
случая в качестве решения легко получить
зависимость потенциала от координаты
xдля заданного момента
времени t. Эта зависимость
имеет вид:
,
где
- постоянная длины. Очевиден физический
смысл
.
Предположив, что x =
получим:
,
где
- основание натуральных логарифмов.
Таким образом, постоянная длины
представляет собой расстояние от точки
удержания потенциала
до точки, в которой потенциал будет
меньше исходного в
раз. Чем больше значение постоянной
длины, тем меньше окажется изменение
потенциала с увеличением расстояния
от исходной точки.
Второй частный
случай получится, если поинтересоваться
тем, как изменяется потенциал в одной
и той же точки с течением времени. При
этом в уравнении (4)
и
уравнение преобразуется к виду:
.
Это уравнение легко интегрируется
методом разделения переменных.
Обозначив
постоянную времени нервного волокна
получим:
.
Из этой зависимости понятен физический
смысл постоянной времени
.
Она представляет из себя время, в течении
которого потенциал в данной точке
наблюдения уменьшится в
раз.
Кабельные постоянные
и
нервного волокна играют важную роль в
процессах пространственной и временной
суммации допороговых электрических
сигналов, происходящих на мембранах
нервных клеток.
Зависимость
постоянной длины от физических
характеристик волокна (1)
указывает на пути возможного увеличения
.
-удельное
сопротивление аксоплазмы и
- удельное сопротивление мембраны мало
меняются у разных представителей
животного мира. Поэтому увеличить
возможно
либо за счёт увеличения радиуса осевого
цилиндра нервного волокна r,
что реализовано у гигантского аксона
кальмара. Либо за счёт увеличения толщины
h, что реализовано в
миелиновом нервном волокне за счёт
швановской оболочки.
31. После
того, как шарик окажется полностью
погружённым в жидкость, на него будут
действовать три силы. Сила тяжести
,
выталкивающая сила Архимеда
и
сила Стокса
.
В проекциях на вертикальную ось второй
закон Ньютона будет выглядеть с
математической точки зрения как
обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка:
или
.
Это уравнение
решается понижением порядка. Обозначив
,как
и
учитывая:
придадим уравнению вид:
Решением полученного уравнения является скорость v как функция времени – v(t). Получить решение уравнения можно, если разделить переменные и переписать его в дифференциалах.
ln
Приняв за начальные условия:
,
получим
,
и частное решение:ln
.
Далее: ln
,
,
.
При
.