![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •Тема 3. «теория вероятностей и мат.Статистика»
- •II. Материалы к собеседованию. Производные и дифференциалы.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •15. Случайная величина принимает значения: -0,10; 0,00; 0,10; 0,30; с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
- •20. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Ответы, указания, решения. Тестовые задания. Тема №1: «Дифференциальное и интегральное исчисления»
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
1.D
=
.
2. Относительная
погрешность вычисленной площади
,
а её приближённое значение мы получим,
заменив в этом равенстве ∆S на dS. В таком
случае
.
Но площадь круга
(x-диаметр),
а поэтому
.
Таким образом
.
(Иначе:
).По
условию x
= 6,7 см; dx = 0,03 см, а потому
,
а умножая эту величину на 100, получим
погрешность в процентах, которая равна
(0,009 · 100)% = 0,9%.
3.Объём
шара вычисляется по формуле
,
где x - диаметр шара.
Приближённо погрешность ∆V вычисленного
объёма (приращение объёма как функции
диаметра) равна
.
Относительная погрешность
.
Но относительна погрешность измерения
диаметра
,
а поэтому
,
что и требовалось доказать.
4.DR = 0,66%.
5.поэтому
относительная погрешность DT
=
а так как относительная погрешность
измерения длины маятника Dl≈
то DT
Dl.
6.Задача
состоит в определении приращения периода
как функции приращения длины маятника.
Вспомнив, что дифференциал функции
является главной частью приращения
функции, легко получить ответ, найдя
дифференциал периода по переменной -
длине маятника.
) =
Перейдя к конечным приращениям получим
приближённую формулу:
.
Далее:
.
Длину маятника следует увеличить на
2,5 см.
7.Условие
задачи позволяет считать gфункцией
только длины.
8.Dg
= 2DT;
9.
10.
11.
;12.
13.;14.
15.
;
16.
17.
18.
19. «Градиент» скорости и скорость сдвига.
«Градиент» скорости
,
входящий в формулу закона Ньютона для
вязкой жидкости
,
как это видно из рисунка, представляет
собой, с математической точки зрения,
смешанную производную от координаты y
по аргументам zиt.
Обоснованно предположив независимость
аргументов и непрерывность частных
производных по этим аргументам получим:
в физике называют скоростью деформации
сдвига (скоростью сдвига) и эта величина
измеряется
или обратными секундами. Иначе говоря,
скорость деформации при простом сдвиге
равна градиенту скорости течения
.
Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
1.Полагая u =1, 2, 3, 4, 5, получим уравнения соответствующих линий уровня:
x + y = 1; x + y = 2; x + y = 3; x + y = 4; x + y = 5.
Построив эти линии в прямоугольной системе координат x0y, получим прямые, параллельные биссектрисе 2 – го и 4 - го координатных углов.
2.Написав уравнения линий уровня: x2 +y2 =1, x2 +y2 =2, x2 +y2 =3, x2 +y2 =4, x2 +y2 =5 и построив их в плоскости x0y, получим концентрические окружности с центром в начале координат.
3.Линии уровня 2y = x2, y = x2, 2y = 3x2, y = 2x2, 2y = 5x2представляют параболы, симметричные оси 0y с общей вершиной в начале координат.
4.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в
формулу:
найдём производную функции uв
точке A по любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.
Для биссектрисы
первого координатного угла: α = β = 450,
cosα = cos
β =
5.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в
формулу
найдём производную функции uв
точке A по любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.
Для вектора
:
, cosα =
cos
β =
6.Находим частные производные функции u и вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в
формулу:
найдём производную функции uв
точке A по любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииu по заданному направлению.
Для вектора
:
, cosα =
cos
β =
7.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции u (M) при переходе точки Mв точку P численно равна модулю градиента функции в точке P. При этом функция,будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M при переходе через точку P двигаться по направлению градиента функции в точке Pили по прямо противоположному направлению.
Руководствуясь
этими положениями, находим частные
производные функции u и
по формуле
─
её градиент в любой точке:
Далее находим:
1)
2) его модуль,
численно равный искомой наибольшей
скорости возрастания функции u
(M)при переходе М через
М0, будет
8.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функции u (M) при переходе точки Mв точку P численно равна модулю градиента функции в точке P. При этом функция, будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M при переходе через точку P двигаться по направлению градиента функции в точке Pили по прямо противоположному направлению.
Руководствуясь
этими положениями, находим частные
производные функции u и
по формуле
─её
градиент в любой точке:
Далее находим:
1)
2) искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет
─
Чтобы функция u
(M) убывала с наибольшей
скоростью, при переходе через точку
M1точка M
должна двигаться в направлении ─
9.Чтобы
в некоторой точке P
производная функции по любому направлению
была равна нулю, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке все частные производные
первого порядка функции одновременно
обращались в нуль. [Согласно формуле:
.]
Поэтому, найдя частные производные:
и
и решая систему уравнений
и
,
получим две точки: (-3, 1) и (1, -1), в которых
функция стационарна.
10.Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат: x2 + y2 +z2 = С.
11.
12.
Найдём единичный вектор
:
а затем производную
скалярного поля U по
направлению вектора
в точке А:
Так как
то данное скалярное поле убывает в
направлении вектора
.
13. 1). Воспользуемся определением градиента скалярной функции:
2).
Направим ось x
поперёк мембраны снаружи внутрь. Учтём,
что вданном случае, потенциал – скалярная
функция только одной координаты х,
тогда:.
3). Изобразим график зависимости потенциала
от координаты x.
4). По графику можно определить tgα. Видно, что он отрицательный и по определению равен производной потенциала по координате x. Вычислим производную.
5).
,
т.е. вектор градиент потенциала направлен
наружу клетки и по модулю равен
14.По
известному выражению для потенциала
поля точечного электростатического
диполя
найдём модуль напряжённости поля. При
этом учтём, что особым выделенным
направлением в данном случае окажется
направление, совпадающее с направлением
дипольного момента P.
Если расположить диполь в пространстве
так, что он находится в начале координат
и направлен вдоль оси Y,
то картина силовых линий поля диполя
окажется одинаковой для любой плоскости,
проходящей через вектор дипольного
момента. φ и Ε
симметричны относительно оси Y.
Воспользуемся
связью напряжённости электростатического
поля с его потенциалом
и найдём проекции вектора напряжённости
и
.
После чего модуль вектора напряженности
получится как:
.
На плоскости XY,
и
.
Для проекции
получим
.
Для проекции
получим:
.
Итак:,иначе
.