![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •Тема 3. «теория вероятностей и мат.Статистика»
- •II. Материалы к собеседованию. Производные и дифференциалы.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •15. Случайная величина принимает значения: -0,10; 0,00; 0,10; 0,30; с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
- •20. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Ответы, указания, решения. Тестовые задания. Тема №1: «Дифференциальное и интегральное исчисления»
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Интегралы. Неопределённые интегралы.
1.
1). Применим формулу интегрирования
по частям.
2). Положим u = x,
найдём dv: dv
= cosxdx. 3). Найдём du:
du = dx. 4).
Найдём v: v
=
.
5). Получим ответ:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
8.
.
9.
10.
11.
12.
13.
.
14.
15.
16..
17.
18.
19.
20
21.
+
C.
22.+
C
23.
24.
25.
+C.
26.+C.
27.
28.Интеграл
берётся
методом замены переменной.
Обозначим
,
тогда:
,
,
,
,
.
=
=
=
=
=
=
=
=
Определённые интегралы.
1.
1).
Получите первообразную от функции
.
2). Примените формулу
Ньютона-Лейбница.
3). Приняв
за переменную z, квадратное
уравнение. . z2 – z
= 2
4). Решите полученное квадратное уравнение.
z1,2
=
; z = 2
5). Подставьте
.
2.1). Изобразим схематически капилляр и выделим вблизи оси капилляра малый цилиндр радиуса rc площадью основания S = πr2:
2). Запишем выражение
для Nт, формализовав
его в виде интеграла по всему объёму
трубки - капилляра:
.
где dV -объём цилиндрического
слоя, полученного при изменении радиуса
малого приосевого цилиндра радиуса r
и длины l, т.е. dV
= l·dS и dS =
d(πr2)
= π2rdr
3).
Запишем выражение для тепловой мощности,
учитывая связь удельной тепловой
мощности с напряжением сдвига и скоростью
сдвига:
.
4). Учтём зависимости напряжения сдвига и скорости сдвига от радиуса - расстояния от оси трубки r. Запишем выражение для тепловой мощности в виде интеграла по r.
Ответ:
.
5). Возьмём интеграл,
сформируем окончательный ответ:
.
И окончательно:
3.
4.Для решения задачи мысленно разобьём протекающую через капилляр за единицу времени жидкость на концентрические трубчатые слои настолько тонкие, чтобы можно было считать линейные скорости частиц жидкости в такой цилиндрической оболочке одинаковыми.
Вклад (dQ),
который делает объём такой цилиндрической
оболочки в расход, легко подсчитать.
Расход найдём,
если проинтегрируем по всему капилляру:
5.
Схематически изобразим изотерму
в координатах p, V,
воспользовавшись известным из школьного
курса физики законом Бойля – Мариотта.
Покажем на графике значения давления
и объёма в начале и в конце процесса
(P1,V1
и P2,V2).
Покажем в виде заштрихованного
прямоугольника элементарную работу
.
Идентифицируем
работу в процессе как площадь криволинейной
трапеции на графике процесса. Подсчитаем
площадь криволинейной трапеции как
определённый интеграл :
Используя
закон Бойля-Мариотта получим функциональную
зависимость давления от объёма: P·V
= P1·V1,
Подставим, полученную
функцию, в определённый интеграл:
Уравнение
Менделеева-Клапейрона запишем в виде
выражения:
.
Подставим в, полученное выражение и
получим:
Используем закон Бойля-Мариотта, поучим связь между давлениями и объёмами для двух состояний газа. Сформулируем окончательный ответ:
6.Схематически
изобразим изотерму в координатах p,
V, воспользовавшись
известным из школьного курса физики
законом Бойля – Мариотта. Покажем на
графике значения давления и объёма в
начале и в конце процесса (P1,V1
и P2,V2).
Покажем в виде заштрихованного
прямоугольника элементарную работу
.
Идентифицируем
работу в процессе как площадь криволинейной
трапеции на графике процесса. Подсчитаем
площадь криволинейной трапеции как
определённый интеграл:
Используя
закон Бойля-Мариотта : P·V
= P1·V1,
Уравнение
Менделеева-Клапейрона запишем в виде
выражения:
.
И получим:
7.Интеграл
берётся
методом замены переменной.
Обозначим
,
тогда:
,
,
,
,
.
=
=
=
=
=
=
=
=
.8.
Для определения индукции магнитного
поля вблизи провода воспользуемся
законом Био - Савара – Лапласа:
( )
.
Для прямого бесконечно длинного провода с током применение закона даёт:
Переменные r,
L, α выразим
через одну (α).