9. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Примеры.

Способ представления чисел посредством числовых знаков (цифр) называется системой счисления. Правила записи и действий над числами в системах счисления, используемых в цифровой вычислительной технике, определяют арифметические основы цифровых ЭВМ. Различают два основных вида систем счисления: непозиционные позиционные. В непозиционной системе счисления значение числа определяется только конфигурацией цифровых символов. Классическим примером непозиционной системы является римская система счисления. В позиционных системах счисления значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе. Основание позиционной системы счисления q есть количество различных цифр, используемых для представления числа. Среди позиционных систем различают однородные и смешанные системы счисления. В однородных системах количество допустимых цифр для всех позиций (разрядов) числа одинаково. Примером однородной позиционной системой является общепринятая десятичная система счисления (q=10), использующая для записи чисел десять цифр от 0 до 9. Примером смешанной системы счисления может служить система отсчета времени, где в разрядах секунд и минут используется по 60 градаций, а в разрядах часов - 24 градации и т.д. Любое число N, записанное в однородной позиционной системе может быть представлено в виде суммы ряда где q - основание системы счисления (q≥2, целое положительное число); a_i - цифры системы счисления с основанием q (a_i=0, 1, 2, …,q-1 ); i - номер (вес) позиции (разряда) цифры (i=n,n-1,…,-m).Принято представлять числа в виде последовательности соответствующих цифр (коэффициентов) разложения (1):

Запятая отделяет целую часть числа от дробной части. В ВТ чаще всего для отделения целой части числа от дробной части используют точку. Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами. В позиционной СС вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию СС. В десятичной СС цифры 1-го разряда — единицы, 2-го — десятки, 3-го — сотни и т.д. Может быть реализовано бесконечное множество различных систем счисления. В цифровых вычислительных машинах в основном используются однородные позиционные системы. В ЭВМ находят широкое применение системы счисления с основанием, являющимся степенью числа 2, то есть двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. При совместном использовании различных систем счисления число записывают в скобках и в качестве индекса указывают основание системы счисления. Например, (15)₁₀; (1011)₂; (735)₈; (1EA9F)₁₆. Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:15₁₀; 1011₂; 735₈; 1EA9F₁₆. Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв, добавляемых после числа. Например, 15D; 1011B;735Q; 1EA9FH. В таблице 1 приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

10. 10Ная, 2ная, 8ная, 16ная системы счисления. Перевод из одной в другую системы счисления.

Правила перехода из восьмеричной и шестнадцатеричной СС в двоичную СС. Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичное число достаточно заменить каждую цифру восьмеричного (шестнадцатеричного) числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, дописывая нули слева при необходимости.

Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа Пример 1. Перевести число 305.4₈ из восьмеричной СС в двоичную СС.

Таким образом, 305.4₈ = 11000101.1₂ Отмеченные крайние нули отбросим. Заметим, что двоичные числа взяты из табл.1. Обратить внимание, что необходимо двоичные числа дополнить до трехразрядных. Перевести число 7D2.E₁₆ из шестнадцатеричной СС в двоичную СС

Отмеченные крайние нули следует отбросить. Таким образом, 7D2.E16 = 11111010010.1112. Двоичные числа взяты из табл.1. Обратить внимание, что необходимо двоичные числа дополнить до четырехразрядных. Правила перехода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную СС Переход от двоичной СС к восьмеричной (шестнадцатеричной) СС осуществляют по триадам (тетрадам). Двоичное число разбивается на триады (по три цифры) [на тетрады (по четыре цифры)] влево и вправо от запятой. Если крайние триады (тетрады) получаются неполными, то они дополняются нулями до триад, т.е. до 3-х цифр (до тетрад, т.е. до 4-х цифр). Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Перевести число 111001100.0012 из двоичной СС в восьмеричную СС