Глава 2. Примеры задач оптимизации.

Наиболее часто встречающиеся типы задач оптимизации – это

1. Производственная задача

2. Внешнеторговая задача

3. Транспортная задача

4. Задача о рациональных смесях (диете)

5. Задача распределения по должностям

Рассмотрим примеры некоторых типов задач оптимизации.

1. Производственная задача.

Условие задачи:

Мебельная фабрика специализируется на производстве столов, столов, стульев и табуреток. Затраты на производство одного стола составляют 0,08 м³ древесина, и на это потребуется 8 человеко-часов, причём доход от его продажи составит 1500 рублей. Затраты на производство одного стула – 0,02 м³ древесины, на это потребуется 7 человеко-часов, доход от его производства составляет 1200 рублей. Затраты на производство одной табуретки составляет 0,01 м³ древесины, 3 человеко-часа и доход от его продажи составит 500 рублей. Ресурсы ограничены и составляют 10 м³ древесины и 880 человеко-часов. Задача – произвести продукцию в таком объёме, чтобы прибыль оказалась максимальной.

Пусть x – количество столов,

y – количество стульев,

z – количество табуреток.

Допущения в модели оптимизации:

- цены не зависят от объёма производства;

- норма затрат не зависит от объёмов производства.

	Доход (руб)	Расход древесины (м3)	Трудозатраты (чел/час)
Столы	1500	0,08	8
Стулья	1200	0,02	7
Табуретки	500	0,01	3

Целевая функция:

1500x+1200y+500z → max

Решим систему:

1500x+1200y+500z → max

0,08x+0,02y+0,01z ≤ 10

8x+7y+3z ≤ 880

x, y, z ≥ 0

x, y, z – целые числа

Ответ: x=12, y=0, z=1

Итак, чтобы прибыль мебельной фабрики оказалась максимальной необходимо производить продукцию в следующих объёмах. Надо производить 12 столов и 1 табуретку, а также необходимо отказаться от производства стульев.

2.2. Внешнеторговая задача

В моделях оптимизации внешней торговли ограничительные условия отражают специфику отрасли и делятся, как правило, на две группы: условия внешнеторговой деятельности, связанные с внутренними возможностями страны или фирмы, и условия, определяемые внешними рынками. К первой группе можно отнести имеющиеся материальные финансовые средства, выделенные экспортные фонды, мощности по производству экспортных товаров, потребности в импорте. Вторая группа ограничительных факторов учитывает экономико-политические цели и включает ограничения, связанные с международными соглашениями, валютные ограничения, возможности сбыта и закупок товаров на внешних рынках и т.п. В качестве критерия оптимальности решения в задачах оптимизации внешней торговли может быть выбрана, например, цель – максимизация валютной выручки от экспорта или минимизация затрат на производство экспортных товаров и т.п.

Условие задачи.

Страна поставляет товары А, В и С на рынки I, II, III. Причём ёмкость рынка I по товару А составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $130. Ёмкость рынка II по товару А составляет 27 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар А, причём его покупают по цене $80 за единицу продукции. Ёмкость рынка I по товару В составляет 22 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару В составляет 8 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $250 за единицу продукции. На рынке III продукция В спросом не пользуется. Ёмкость рынка I по товару С составляет 35 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $170 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару С составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $190 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар С, который покупается по цене $120 за единицу продукции. Кроме того, страна импортирует товары D, E и F с рынков I, II и III. Максимальное предложение на рынке I по товару D составляет 820 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $7,3 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке II по товару D составляет 600 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $10,5 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару D составляет 930 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $5,8. Товар Е на рынке I не продаётся. Максимальное предложение на рынке II по товару E составляет 370 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $12,2 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару E составляет 120 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $8,1 за единицу продукции. Товар F на рынке имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $6,1 за единицу продукции. Товар F на рынке II имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $9,3 за единицу продукции. Товар F на рынке III не продаётся. При этом существует договор, по которому страна не имеет права экспортировать товар А более 42 тыс. единиц, товар В – 80 тыс. единиц, товар С – 70 тыс. единиц. Кроме этого, существует ограничение на импорт: количество товара D по всем рынкам не должно превышать 1800 тыс. единиц товара, товар Е должен быть закуплен в количестве не более 250 единиц, а по товару F ограничений нет. Помимо этого, объём продаж на рынке I должен быть не меньше 50 тыс. единиц, объём закупок на рынке II должен быть не больше 1000 тыс. единиц, а на рынке III объём продаж товарами должен равняться объёму закупок. Задача – максимизировать валютную выручку от экспорта.

	Товар А	Товар В	Товар С	Товар D		Товар Е	Товар F
	Экспорт				Импорт
	Цена ($) Ёмкость рынка (тыс ед.)
Рынок I	130 30	390 22	170 35	7,3 820		0 0	6,1 ∞
Рынок II	160 27	250 8	190 30	10,5 600		12,2 370	9,3 ∞
Рынок III	80 ∞	0 0	120 ∞	5,8 930		8,1 120	0 0

Обозначим через х_ik объем продажи k-ого товара на i- ом рынке.

Пусть x₁₁ – объём продажи товара А на рынке I,

x₂₁ – объём продажи товара А на рынке II

x₃₁ – объём продажи товара А на рынке III

x₁₂ – объём продажи товара B на рынке I

x₂₂ – объём продажи товара B на рынке II

x₃₂ – объём продажи товара B на рынке III

x₁₃ – объём продажи товара C на рынке I

x₂₃ – объём продажи товара C на рынке II

x₃₃ – объём продажи товара C на рынке III

x₁₄ – объём продажи товара D на рынке I

x₂₄ – объём продажи товара D на рынке II

x₃₄ – объём продажи товара D на рынке III

x₁₅ – объём продажи товара E на рынке I

x₂₅ – объём продажи товара E на рынке II

x₃₅ – объём продажи товара E на рынке III

x₁₆ – объём продажи товара F на рынке I

x₂₆ – объём продажи товара F на рынке II

x₃₆ – объём продажи товара F на рынке III

Целевая функция:

130x₁₁+160x₂₁+80x₃₁+390x₁₂+250x₂₂+170x₁₃+190x₂₃+120x₃₃ – 7,3x₁₄ – 10,5x₂₄ –5,8x₃₄ – 12,2 x₁₅ – 8,1 x₃₅ – 6,1x₁₆ – 9,3x₂₆ → max

Ограничения по объему экспортного рынка:

x₁₁ ≤ 30

x₂₁ ≤ 27

x₁₂ ≤ 22

x₂₂ ≤ 8

x₁₃ ≤ 35

x₂₃ ≤ 30

Ограничения по объему импортного рынка:

x₁₄ ≤ 820

x₂₄ ≤ 600

x₃₄ ≤ 930

x₂₅ ≤ 370

x₃₅ ≤ 120

Ограничения по объему экспорта:

x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤ 42

x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤ 80

x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤ 70

Ограничения по объему импорта:

x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤ 1800

x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤ 250

Ограничения по рынкам:

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥ 750

x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤ 1000

80x₃₁+120x₃₃– 5,8x₃₄ – 8,1x₃₅ =0

Решим систему уровнений:

130x₁₁+160x₂₁+80x₃₁+390x₁₂+250x₂₂+170x₁₃+190x₂₃+120x₃₃ – 7,3x₁₄ – 10,5x₂₄ –5,8x₃₄ – 12,2 x₁₅ – 8,1 x₃₅ – 6,1x₁₆ – 9,3x₂₆ → max

x₁₁ ≤ 30

x₂₁ ≤ 27

x₁₂ ≤ 22

x₂₂ ≤ 8

x₁₃ ≤ 35

x₂₃ ≤ 30

x₁₄ ≤ 820

x₂₄ ≤ 600

x₃₄ ≤ 930

x₂₅ ≤ 370

x₃₅ ≤ 120

x₁₁+x₂₁+x₃₁ ≤ 42

x₁₂+x₂₂+x₃₂ ≤ 80

x₁₃+x₂₃+x₃₃ ≤ 70

x₁₄+x₂₄+x₃₄ ≤ 1800

x₁₅+x₂₅+x₃₅ ≤ 250

x₁₁+x₁₂+x₁₃ ≥ 750

x₂₄+x₂₅+x₂₆ ≤ 1000

80x₃₁+120x₃₃– 5,8x₃₄ – 8,1x₃₅ =0

Подготовим задачу к решению на компьютере.