4. Скалярное произведение векторов.
4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
О
пределение.
Скалярным
произведением
векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними.
Обозначение:
или (
,
).
Если
φ = (
,^
)
– угол между векторами
и
,
то
=|
|
|
|
cosφ
(4.1)
Свойства скалярного произведения.
-
Т
ак
как |
|cosφ
= ПРb
,
а |
|cosφ
= ПРā
(см. рис. 24), то
=
|
|ПРā
=
|
|
-
=
вытекает непосредственно из определения. -
(λ
)
=
(λ
)=λ(
)
Действительно,
(λ
)
=
|
|
(λ
)
= |
|
λ
= λ|
|
= λ(
)
-
(
+
)
=
+
Действительно,
(
+
)
= |
|
ПРā(
+
)
= |
|(ПРā
+ПРā
)
= |
|
ПРā
+|
|
ПРā
=
+
.
-
Скалярный квадрат вектора
2
=
равен квадрату его длинны:
2
= |
|2.
4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
Пусть
в пространстве задан ортонормированный
базис
,
,
и даны два вектора
=х1
+у1
+z1
={х1,
у1,
z1}
и 
=
х2
+у2
+z2
={х2,
у2,
z2}.
Найдем их скалярное произведение, раскрывая скобки согласно свойствам скалярного произведения:
=
(х1
+у1
+z1
)
(х2
+у2
+z2
)
=
=
х1х2
•
+ у1х2
•
+ z1х2
•
+ (4.3)
+
х1у2
•
+ у1у2
•
+ z1у2
•
+
+
х1z2
•
+ у1z2
•
+ z1z2
•
.
Так
как
,
,
-
координатные орты, |
|
= |
|
= |
|
= 1 и они попарно ортогональны (см. рис.
4.2), то
•
=1,
•
=0,
•
=0,
•
=0,
•
=1,
•
=0,
•
=0,
•
=0,
•
=1.
(4.4)
Учитывая формулы (4.4) и равенство (4.3), получим
=х1х2+у1у2+z1z2
Вывод: скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных (соответствующих) координат.
4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
-
Угол между векторами.
Пусть
даны два ненулевых вектора
={х1,
у1,
z1}
и
={х2,
у2,
z2},
φ=(
,^
)
– угол между ними. Тогда
. (4.6)
-
Условие ортогональности векторов.
Два
ненулевых вектора
и
ортогональны, если φ = (
,^
)
= π/2
(90°). Тогда из определения скалярного
произведения следует (см. формулу (4.1)),
что
=
0, или в координатной форме
х1х2+у1у2+z1z2=0.
3) Проекция вектора на заданное направление.
Найдем
проекцию вектора
на
направление, заданное вектором
из равенства (4.2):
=
,
где
– орт вектора
,
или в координатной форме
=
.
5. Векторное и смешанное произведения векторов.
5.1. Определение векторного произведения.
Т
ри
некомпланарных вектора
,
,
образуют в указанном порядке правую
тройку, если
кратчайший поворот от вектора
к вектору
виден из конца вектора
совершающимся против часовой стрелки,
и левую тройку в противном случае (см.
рис 5.1).
Определение.
Векторным произведением векторов
и
называется вектор
такой, что
-
|
|
= |
|
|
|
sinφ,
где
φ
=
(
,^
);
-
вектор
ортогонален векторам
и
:
,
,
т.е. ортогонален плоскости векторов
и
; -
векторы
,
,
образуют в указанном порядке правую
тройку.
З
аметим,
что орты
,
,
ортонормированного базиса в указанном
порядке образуют правую тройку (см. рис.
5.3).