3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.

1. Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Оху.

Выберем на координатных осях Ох и Оу единичные векторы (орты) и соответственно: || = || = 1 и (см. рис. 3.17). Векторы и образуют базис плоскости. Такой базис называется ортонормированным.

Для каждого вектора плоскости ,:

=х+у={х,у} (3.3)

Если начало вектора совместить сточкой О (см. рис. 3.17), то становится ясно, что координаты х и у вектора в базисе и есть не что иное, как проекции вектора на соответствующие оси координат:

х=ПР_х, у=ПР_у

Координаты х и у называются декартовыми координатами вектора . Ясно также, что

||=,

т.е. модуль (длина) вектора в ортонормированном базисе , равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Обозначим через α и β углы, образованные вектором с осями Ох и Оу соответственно (см. рис. 3.17), тогда

х=||соs α, у= |а|соs β, или соs α=, соs β=.

Числа соs α и соs β называются направляющими косинусами вектора . Они обладают свойством:

.

б) Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуz. Выберем на координатных осях Ох, Оу и Оz координатные орты , , соответственно (см. рис. 3.18), при этом || = || = || = 1 и эти векторы попарно ортогональны, т.е. образуют ортонормированный базис пространства. Аналогично плоскому случаю, для любого справедливо разложение

=х+у+z={х,у,z}, (3.4)

где х, у, z – координаты вектора в базисе из векторов , , , при этом

х=ПР_х, у=ПР_у, z=ПР_z, ||=.

Если α, β, γ – углы, образованные вектором с соответствующими осями координат , то

соs α = , соs β = , соs γ = .

Числа соs α, соs β, соs γ – направляющие косинусы вектора и

.

3.6. Действия над векторами в координатной форме.

Рассмотрим в пространстве ортонормированный базис , , . Пусть далее

=х₁+у₁+z₁, =х₂+у₂+z₂.

Сложение векторов: при сложении векторов их соответствующие координаты складываются , т.е.

+=(х₁+х₂)+(у₁+у₂)+(z₁+z₂)= {х₁+х₂; у₁+у₂; z₁+z₂}

Действительно, (+)_х=ПР_х(+) = ПР_х+ ПР_у = х₁+х₂.

Аналогично для остальных координат.

Умножение вектора на число: при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т. е.

.

Равенство векторов: два вектора = х₁+у₁+z₁ и = х₂+у₂+z₂ равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: т.е. х₁ = х₂, у₁ = у₂, z₁ = z₂.

Коллинеарность векторов: || =λ, или в координатной форме

х₁+у₁+z₁=λ(х₂+у₂+z₂)=(λх₂)+(λу₂)+(λz₂),

отсюда х₁=λх₂, у₁=λу₂, z₁=λz₂, т.е. .

Вывод: коллинеарность векторов равносильна пропорциональности соответствующих координат этих векторов.

Координаты вектора через координаты его начала и конца: если = и известны координаты точек А (х_1;у_1;z₁) и В (х_2;у_2;z₂). Тогда (см. рис. 3.19)

=–={х₂;у₂;z₂} – {х₁;у₁;z₁} = {х₂- х₁; у₂- у₁; z₂- z₁}.

= {х₂- х₁; у₂- у₁; z₂- z₁}.

Мы воспользовались тем, что, если дана точка М (х,у,z), то вектор {х,у,z} (см. рис. 22). Вектор называется радиусом– вектором точки М.