18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.

Пусть даны две функции x = (t), y = (t) одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в некотором интервале (, ). Если функция x = (t) строго монотонна, то она имеет обратную функцию t = (x), непрерывную и монотонную в некотором интервале (a, b). Поэтому y является сложной функцией, зависящей от переменной x посредством переменной t, называемой параметром:

y = f(x) = ((x)), x  (a, b).

Эта функция непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции. Итак, система функций (18.26) определяет функцию y = f(x) переменной x, а сами уравнения (18.26) называются параметрическими уравнениями функции y = f(x) (см. рис. 18.13). Такой способ задания функции называется параметрическим. Пример 18.18. Рассмотрим функцию y = f(x), заданную параметрически системой уравнений (а > 0)

t [ 0,] (18.27)

Так как функция убывает на отрезке [ 0,] (см. рис. 18.14), то существует обратная функция t = (x) = arccos , x[-a,a]. Если подставим ее во второе уравнение вместо t, то получим искомую функцию в явном виде: y = a sin(arccos ) = =a. Знак плюс перед корнем выбираем в силу того, что функция y = a sin t неотрицательна при t [ 0,]. Таким образом, уравнения (18.27) есть параметрические уравнения функции y = , x [-a,a], графиком которой является верхняя полуокружность (см. рис. 18.15). Взяв   t  2, получим, что система (18.27) есть параметрические уравнения функции y = f(x) = –, графиком которой является нижняя полуокружность (см. рис. 18.15).

Пусть функции x = (t) и y = (t) дифференцируемы в области определения (, ) и (t)  0. Тогда обратная функция t = (x) дифференцируема и . По теореме о производной сложной функции получим

. Следовательно,

или, короче, . (18.28)

Таким образом, производная функции, заданной параметрически, сама является функцией, заданной параметрически:

если t (, ), то з t (, ).

Найдем вторую производную функции, заданной параметрически уравнениями (18.26). Так как вторая производная есть производная от первой производной, то, согласно формуле (18.28), получим

. (18.29)

Аналогично можно получить производную от у по х любого порядка.

18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.

Пусть задано уравнение, связывающее переменные х и у, вида

F (x,y) = 0. (18.30)

Мы уже сталкивались с подобным уравнением, рассматривая уравнение линии на плоскости в п. 7.1.

Пусть существует такой интервал (a, b), что для каждого x₀  (a, b) существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению F (x,y) = 0. Обозначим одно из таких чисел у₀ и поставим его в соответствие числу x₀  (a, b). Тогда получим функцию y = f(x), определенную в интервале (a, b) и такую, что F (x, f(x)) = 0 для всех x  (a, b). В этом случае говорим, что функция y = f(x) задается неявно уравнением (18.30). Уравнение (18.30) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций.

Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (18.30), называются неявными функциями

в отличие от функций, задаваемых явно формулой y = f(x). Термин " неявная функция" отражает

не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.

Итак, функция y = f(x), x  (a, b) является неявной функцией, определяемой уравнением (18.30), если

F (x, f(x))  0 x  (a, b),

т.е. функция y = f(x) есть решение уравнения F (x,y) = 0 относительно переменной y.

Пример 18.19. Рассмотрим уравнение х² + у² – 1 = 0, или х² + у² = 1, которое на плоскости Оху задает окружность радиуса r = 1 с центром в начале координат (см. рис. 18.16). Как легко проверить, функции , x [-1,1] и , x [-1,1] являются неявными функциями, заданными этим уравнением, графиками их служат верхняя и нижняя полуокружности (см. рис. 18.6).

Выберем x₀ =  [-1,1] и подставим в исходное уравнение. Тогда получим: + у² – – 1 = 0 или у² = , т.е. y = . Итак, при x₀ = мы получили два значения у. Если мы выберем у₀ = ; то, тем самым, мы выбрали неявную функцию , x [-1,1].

Правило нахождения производных функций, заданных неявно.

Для нахождения производной y функции y = f(x), заданной неявно уравнением F (x,y) = 0, необходимо продифференцировать это уравнение по переменной x как сложную функцию, рассматривая при этом y как функцию от x, и полученное уравнение разрешить относительно y.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у, т.е. сама является функцией, заданной неявно.

Пример 18.20. Найти y (1) и y (1) в точке М₀(1,1), если y = f(x) является неявной функцией, определяемой уравнением х² + 2ху + у² – 4х + 2у -2= 0 (18.31) Решение. Продифференцируем уравнение (18.31) по х, помня, что у есть функция от х:

2х + 2(у +ху) + 2уу - 4 + 2у = 0.

Находя из этого уравнения у , получим

. (18.32)

Чтобы вычислить y (1), нам необходимо знать значение у₀ неявной функции в точке x₀ = 1. Но из условия задачи следует, что у₀ = y (1) = 1, т. к. точка М₀(1,1) лежит на графике функции. Учитывая это, получим: y (1) = 0.

Для нахождения y, продифференцируем уравнение (18.32) еще раз по переменной x :

.

Исключив из последнего равенства y по формуле (18.32), получим выражение y через х и у : 1 + y = 1 – ,

тогда y = .

Отсюда, учитывая как и выше, что y (1) = 1, получим y (1) = – .

Замечание. Задав точку М₀(1,1), лежащую на кривой, определенной уравнением (18.31) (проверьте), мы тем самым, задали значение неявной функции y = f(x) в точке x₀ = 1: y (1) = 1. Дело в том, что уравнение (18.31) при x₀ = 1 имеет два решения: у = 1 и у = -5. Уравнение (18.31) можно разрешить относительно y, записав его в виде у² + 2(х + 1) у + х² – 4х – 2= 0, откуда получим: y = f₁(x) = – х – 1 + и y = f₂(x) = – х – 1 – . Легко видеть, что f₁(x) = 1, а f₂(x) = –5. Решить поставленную задачу можно теперь, дифференцируя функцию y = f₁(x), заданную уже в явном виде.

Это замечание показывает, что даже в случае, когда уравнение, задающее неявную функцию, можно разрешить относительно у, производную неявной функции проще находить по правилу, описанному выше.