18.5. Таблица производных

1. (с)=0, где с – постоянное число;

2. (х^α)=α х^α-1, αR, в частности, х =1, , ;

3. (а^х)=а^хln a, (e^x)=e^x;

4. (log_ax)=, (ln x)=;

5. (sin x)=cos x;

6. (cos x)=-sin x;

7. (tg x)= = tg²x+1;

8. (ctg x) = -

9. (arcsin x) = ;

10. (arccos x) = -;

11. (arctg x) = ;

12. (arcctg x) = -.

Заметим, что в нашем распоряжении есть полный арсенал средств (таблица производных основных элементарных функций, правила вычисления производных, производная сложной функции) для вычисления производных от элементарных функций.

18.6. Логарифмическая производная

В ычислим производную функции y = ln|x|, x ≠ 0, (см. рис. 18.2).

При x>0 y=ln x и (ln x)=,

При x<0 y=ln (-x) и (ln(-x))== поэтому

(ln|x|)=. (18.13)

Пусть функция y=f(x) дифференцируема и отлична от нуля. Вычислим производную функции ln|x| = ln|f(x)|.

По правилу дифференцирования сложной функции, учитывая формулу (18.13), получим

(ln|x|)= или (ln|у|)=. (18.14)

Это и есть логарифмическая производная функции f(x), т.е. производная от логарифма модуля функции.

В качестве примера найдем с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции

y=u(x)^v(x),

где u = u(x)>0 и v = v(x) некоторые дифференцируемые функции. Так как ln y=v(x)ln u(x), то по формуле (18.14)

=[v(x) ln u(x)]= v(x) ln u(x)+v(x),

отсюда окончательно получаем

y = u(x)^v(x)[v(x) ln u(x) + v(x)],

или в краткой записи

y = u^v ln u • v+ v u^v-1 u .

производная производная

показательной степенной

функции функции

Пример 18.11. y=x^α, αR. Найдем у, для чего найдем логарифмическую производную функции у=х^α:

ln y=α ln х, (ln y)==, у=х^α=α х^α-1.

Итак:

(х^α)= α х^α-1.

Пример18.12. Найдем у, если у=.

Решение. Вновь воспользуемся логарифмической производной:

ln|y| = ln=5 ln |x²-1| + ln|x+3|-3ln |x-2|,

= 5•,

окончательно получим

у = .

18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.

П усть функция y=f(x) определена и непрерывна в интервале (a,b). Пусть х₀(a,b), тогда точка М₀(х₀,у₀), где y₀=f(x₀) лежит на графике функции (см. рис. 18.3).

Пусть М(х,у), где y=f(x), другая точка графика функции и х = х₀+х. Проведем через М₀ и М прямую и назовем ее секущей. Обозначим через  угол между секущей М₀М и осью Ох. Заметим еще, что расстояние между точками М₀ и М стремится к нулю, когда точка М стремится вдоль кривой вдоль кривой к точке М₀, т.е. |М₀М|=→0 при х→0, ведь у→0 при х→0 в силу непрерывности функции y = f(x).

Касательной M₀N к графику функции y=f(x) в точке М₀ называется предельное положение

секущей М₀М, когда точка М неограниченно приближается вдоль графика функции к точке М₀, т.е. при х→0.

Пусть  ₀ – угол между касательной М₀N и осью Ох. Тогда из рисунка 18.3. ясно, что  = (х)→ ₀ при х→0, т.е. tg =tg  (x)=tg  ₀.

Но

tg  =,

поэтому

tg  ==f(x₀) = tg  ₀.

Таким образом, производная функции y=f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М₀(х₀,f(x₀)).

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀) с угловым коэффициентом к имеет вид у - у₀ = к(х-х₀), поэтому уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке М₀(х₀,f(x₀)) имеет вид

Error: Reference source not found (18.15)

где к=f(x₀).

П рямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции y=f(x) (см. рис. 18.4) и имеет уравнение

y-f(x₀)=

Если f(x₀)=0, т.е. касательная горизонтальна и имеет уравнение у = у₀, то нормаль вертикальна и имеет уравнение х = х₀.

П усть даны две кривые y=f₁(x) и y=f₂(x), пересекающиеся в точке М₀(х₀,у₀), причем обе функции имеют производные в точке х₀. Углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения М₀ (рис. 18.5.). Этот угол  можно найти из формулы

tg  =,

где к₁=f₁(x₀), к₂=f₂(x₀).