17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Приведем ряд основных свойств функций, непрерывных на отрезке (называемых глобальными, в отличие от локальных, рассматриваемых в п. 17.2).

Теорема 17.4. (О сохранении знака непрерывной функции).

Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ и f (x₀)  0. Тогда существует такая -окрестность точки х₀ , что для всех х  функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x₀) (см. рис. 17.9).

Доказательство. Пусть, для определенности, f (x₀) >0. Т.к. f (x) непрерывна в точке х₀ , т.е. , то

   0    0  х:      , или f (x₀) -   f (x)  f (x₀) + .

Для  = получим: f (x) > f (x₀) -  = >0 для всех х . Аналогично доказывается для случая, когда f (x₀)  0.

Теорема 17.5. (Первая теорема Больцано – Коши о нулях функции).

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков: f (a) f (b) < 0. Тогда существует точка с  (a,b) такая, что f (с) = 0 .

Доказательство теоремы опустим. Приведем простой геометрический смысл этой теоремы: непрерывная кривая (график непрерывной функции) при переходе с одной полуплоскости в другую обязательно пересечет ось Ох (см. рис. 17.10).

Теорема 17.6. (Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении).

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], причем f (a) =А , f (b) = В. Пусть с –любое число, заключенное между А и В. Тогда существует точка с  [a,b] такая, что f (с) = с.

Доказательство. Пусть для определенности А < В и А < C < В (см. рис. 17.11).Тогда функция y =  (x) = f (x) - C непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков:  (а) = f (а) – C = А – C < 0,  (b) = f (b) – C = = B – C > 0. По теореме 17.5 существует точка с  (a,b) такая, что  (с) = f (с) - C = 0, т.е. f (с)= C. Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного знака к другому принимает и все промежуточные значения (графически это означает, что прямая y = C обязательно пересечет график непрерывной функции, как это изображено на рис. 17.11).

Напомним, что непрерывная в точке х₀ функция y = f (x), ограничена в некоторой окрестности этой точки (ограниченность функции, имеющей предел, теорема 16.1). Для функций, непрерывных на отрезке, справедлива следующая теорема.

Теорема 17.7.(Первая теорема Вейерштрасса).

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют числа т и М такие, что т < f (x) < М для всех x  [a,b].

Примем теорему без доказательства.

Если точная верхняя и точная нижняя границы множества значений функции сами являются значениями функции, то мы говорим, что функция достигает своих точных границ. Пусть, как и прежде, и – соответственно точная нижняя и точная верхняя границы.

Теорема 17.8. (Вторая теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений).

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней границ, которые являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [a,b], т.е.  х₁, х₂  [a,b] такие, что

f (x₁) = , f (x₂) = .

Доказательство. Согласно теореме 17.7 функция y = f (x) будет непрерывна, ограничена на отрезке [a,b], поэтому существуют точные верхняя и нижняя границы множества значений функции (см. теорему 13.1). Обозначим их, как и раньше, и соответственно. Ясно, что для каждого значения аргумента x  [a,b] выполняется неравенство: т_f  f (x)  М_f .

Покажем, что функция y = f (x) достигает М_f , т. е. существует точка x₀  [a,b] такая, что f (x₀) = М_f . Доказательство проведем "от противного". Пусть ни в одной точке отрезка [a,b] функция y = f (x) не принимает значения, равного М_f . Тогда f (x) < М x  [a,b].

Рассмотрим на отрезке [a,b] непрерывную и положительную функцию . По теореме 17.7 функция y = F (x) ограничена на отрезке [a,b], т. е.   0: F (x)   x  [a,b], или  , отсюда следует, что f (x)  М_f -.

Это означает, что число М_f - является верхней границей множества значений функции y=f (x). Но это противоречит тому, что М_f – точная верхняя граница этого множества, т. е. наименьший элемент во множестве всех верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что на отрезке [a,b] существует точка x₀  [a,b] такая, что f (x₀) = М_f .

Аналогично доказывается, что  x₁  [a,b]: f (x₁) = т_f . Доказательство полностью закончено.

Следствие 17.1. Непрерывная функция y = f (x) отображает отрезок [a,b] на отрезок [т_f ;М_f], где т_f и М_f соответственно точная нижняя и точная верхняя границы множества значений функции.

Это сразу вытекает из вышеприведенной теоремы 17.8 и теоремы 17.6 о промежуточном значении.