17.2. Локальные свойства непрерывных функций.

Локальные свойства функции – это такие свойства, которые выполняются в данной точке или в некоторой окрестности этой точки. Примером локального свойства функции служит свойство функции быть непрерывной в данной точке.

Теорема 17.1. (Арифметические свойства непрерывных функций).

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀. Тогда их сумма f (x)+g (x), произведение f (x)g (x) и частное также непрерывны в точке х₀ (последняя при g (x) 0 ).

Доказательство. Так как f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀, то существуют пределы и . Тогда

, где f (x₀)+g (x₀) – значение функции f (x)+g (x) в точке х₀. Это и означает, что сумма непрерывных в точке х₀ функций также непрерывна в точке х_0. Непрерывность произведения и частного двух функций доказывается аналогично.

Теорема 17.2. (О непрерывности сложной функции).

Пусть функция у = f (x) непрерывна в точке х₀, а функция z = g (x) непрерывна в точке y₀ = f (x₀). Тогда сложная функция z = F (x) = g [f (x)] непрерывна в точке х₀.

Доказательство. Функция у=f(x) непрерывна в точке х₀, т.е. , т.е. у = f (x) у₀ = f (x₀) при х х₀. Так как z = g (y) непрерывна

в точке у₀, то , это и означает, что сложная функция g [f (x)] непрерывна в точке х₀.

Пример 17.1. Рассмотрим функцию у = f (x)=U(x)^V(x), U(x) >0, U(x), V(x) непрерывны в точке х₀:  и . Эта функция у = U^V сложная, она одновременно показательная и степенная. По теореме 17.2 эта функция непрерывна в точке х₀:

.

Как мы видели (см. п. 16.2), при рассмотрении пределов вида могут возникнуть неопределенности вида 0⁰, или . Методы их вычисления будут рассмотрены ниже.

Функция у = f (x) называется непрерывной слева в точке х₀, если f (x₀ – 0) = =, и непрерывной справа в точке х₀, если f (x₀ + 0) = .

17.3. Непрерывность обратной функции.

Функция у=f (x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=f (x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b), непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в точке х = b.

Теорема 17.3. (О непрерывности обратной функции).

1) Пусть функция у=f (x) монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [a,b] с множеством значений E(f) = [A,B], где f (a) = A, f (b) = B. Тогда обратная функция х =  (у) монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [А,В].

2) Если функция у=f (x) монотонно убывает и непрерывна на отрезке [a,b], то обратная функция х =  (у) монотонно убывает и непрерывна на отрезке [А,В], где А = f (b), B = f (a).

Принимает эту теорему без доказательства.

17.4. Непрерывность основных элементарных функций.

1. Постоянная функция у=f (x) =С, где С = const непрерывна на множестве R = , т. к. в каждой точке х₀ R (cм. пример 16.1), что и означает непрерывность функции в точке х₀ .

2. Функция у=f (x) = х непрерывна на R, т.к.  х₀ R  (см. пример 16.2).

3. Функция у=f (x) = х^k , k  N непрерывна на R, т.к.  х₀ R  (см. пример 16.6).

4. Многочлен степени п P_n(x) = является

непрерывной функцией на R, т.к.  (см. пример 16.7).

5. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) является непрерывной функцией в каждой точке, в которой знаменатель не обращается в ноль. Это следует из теоремы 17.1 и того факта, что числитель Q_m(x) рациональной дроби, являясь многочленами, непрерывны всюду на R .

6. Функция у = f (x) = sin x непрерывна на множестве R . Действительно, если х₀ – произвольная фиксированная точка, то у = sin (x₀ + x) – sin x₀ = , где  , а функция у = является ограниченной на R . Тогда

как произведение б. м. функции на ограниченную функцию (см. осовные свойства б. м. функций, п. 16.4). Но это и означает непрерывность функции у = sin x в каждой точке числовой оси.

7. Функция у = f (x) = cos x непрерывна на множестве R, т. к. ее можно представить в виде у = cos x = sin и воспользоваться теоремой 17.2 о непрерывности сложной функции; где у = sin x и непрерывны.

8. Функция у = tg x непрерывна всюду на R, кроме точек , п Z. Это следствие того, что tg x = есть отношение двух непрерывных функций, и теоремы 17.1.

9. Функция у = f (x) = arcsin x непрерывна на отрезке [-1;1] по теореме 17.3 о непрерывности обратной функции. Действительно, функция у = sin x монотонно возрастает и непрерывна на отрезке , а множество ее значений есть отрезок [-1;1] (см. рис. 17.2). Поэтому обратная функция у = arcsin x возрастает и непрерывна на отрезке [-1;1].

Аналогично можно показать, что функции у = = arccos x и у = arctg x непрерывны в области своего определения как обратные к у = cos x и у = tg x соответственно.

10. Функция y = a^x , a >0 и a  1, непрерывна и монотонна на R: возрастает при a >1 и убывает при 0 < a < 1. Поэтому обратная функция y = log_a x монотонна и непрерывна при х > 0.

11. Степенная функция у = f (x) = х^ , R, непрерывна на множестве (0;+) по теореме о непрерывности сложной функции, т. к. , а функции у = f (t) =a^t и

и t =  (x) =  log_a x непрерывны.

Итак, мы доказали непрерывность основных элементарных функций.

Напомним, что элементарной мы назвали функцию, образованную из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложной функции. Поэтому из всего вышесказанного вытекает следующий важный вывод: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Отсюда следует, что при нахождении предела элементарной функции в точке, в которой она определена, нужно просто вычислить значение элементарной функции в этой точке.