15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Напомним, что основные тригонометрические функции были определены в геометрии как отношения в прямоугольном треугольнике (см. рис. 15.23):

sin α =, cos α=, tg α ==, ctg α ==,

Выполняется основное тригонометрическое тождество

sin² α +cos² α=1.

15.5.6.1. Функция у=sin x и y=arcsin x.

Функция у=sin x определена на всей числовой оси, D(f) = R, E(f) = [-1, 1], т.е. у=sin x ограничена: -1≤ sin x≤1; нечетная: sin (-x) = -sin x; периодическая с периодом Т=2: sin (x+2n)=sin x nZ.

Г рафиком функции у=sin x является синусоида, изображенная на рис. 15.24:

Как видно из графика, функция у=sin x не является взаимно однозначной, а значит не имеет обратной. Уравнение sin x = а имеет бесконечное множество решений при а[-1, 1], задаваемое формулой

х = (-1)ⁿ arcsin a+ n, nZ.

Рассмотрим функцию у=sin x на отрезке , на котором она возрастает и принимает все значения из отрезка [-1, 1]: D(f)= , E(f)=[-1, 1]. Тогда существует обратная функция у=(х), D(f)=[-1, 1], E(f)= называется арксинусом: у=(х) = arcsin х

Арксинусом числа а[-1, 1] называется такое число (угол) α, синус которого равен а:

arcsin a=α  sin α =а.

На рисунке 15.25. изображены графики прямой и обратной функций:

Рассмотрим у=sin x, D(f)=, E(f)=[-1, 1], которая монотонно убывает, и, следовательно, имеет обратную функцию у = ₁(х), D(f) = [-1, 1], E(f) = , которая, как видно из рис. 15.26, имеет вид: у=₁(х)= - arcsin x, которая получается из формулы (15.1) при n=1.

В заключении заметим, что

sin (arcsin a)=a, a[-1, 1],

arcsin (sin x)=x, x.

15.5.6.2. Функции y = cos x и y = arcсos x.

Функция y = cos x = sin определена на всей числовой оси, множество значений отрезок [-1, 1], т.е. ограничена: -1≤ cos x≤1; четная: cos (-x)= cos x; периодическая с периодом Т=2: cos (x+2n)= cos x nZ.

График изображен на рисунке 15.27:

Уравнение y = cos а при а[-1, 1] имеет бесконечное множество решений, задаваемое формулой

x = ±arccos a+2n, nZ.

На отрезке [0, ] функция y = cos а убывает и принимает все значения из отрезка [-1, 1], а значит имеет обратную функцию, называемую арккосинусом, y=(х) = arccos x, с областью определения D() = [-1, 1] и множеством значений E() = [0, ] (см. рис. 15.28).

Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0, ], косинус которого равен а:

arccos a=  cos =a.

Справедливы равенства:

cos (arccos a)=a, a[-1, 1],

arccos (cos x)=x, x[0, ].

15.5.6.3. Функция y = tg x и y = arctg x.

Функция y = tg x определена для всех чисел х, для которых cos x 0, т.е. все числа, кроме +n, nZ. Множество значений E(f)=R. Нечетная: tg (-x) = -tg x. Периодическая с периодом Т=: tg (x+ n) = tg x nZ. Вертикальные прямые х= + n являются асимптотами графика функции y = tg x (см. рис. 15.29).

Уравнение tg x = а имеет бесконечное множество решений, задаваемых формулой

х = arctg a+ n, nZ.

В интервале функция монотонно возрастает и имеет обратную, определенную на R со значениями в интервале называемую арктангенсом: y = (x) = arctg x.

Арктангенсом числа аR называется такое число из интервала , тангенс которого равен а:

arctg a=  tg =a.

Графиком взаимообратных функций изображены на рисунке 15.30.

Справедливы формулы:

tg (arctg a) = a, aR,

arctg (tg x) = x, x.