15.4. Основные элементарные функции.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. Степенная функция: у=х^α где αR;

2. Показательная функция: у=а^х, a>0 и а ≠1;

3. Логарифмическая функция: y=log_ax, а>0 и а ≠1;

4. Тригонометрические функции: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;

5. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x;

Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций и действительных чисел при помощи конечного числа арифметических действий и образования сложной функции.

15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.

15.5.1. Постоянная функция. Функция у=f(x)=c, принимающая для всех значений аргумента х одно и тоже постоянное значение с, называется постоянной функцией, а ее графиком служит прямая называется постоянной функцией, а ее графиком служит прямая у = с, параллельная оси Ох (см. рис. 15.13).

15.5.2. Линейная функция и прямая пропорциональная зависимость.

Прямой пропорциональной зависимостью называется функция, задаваемая формулой у=кх, где к≠0. графиком этой зависимости служит прямая линия, проходящая через начало координат (см. рис. 15.14). Величина у пропорциональна величине х, т.е. если у₁ = кх₁, а у₂ = кх₂, то

,

а построенный коэффициент к называется коэффициентом пропорциональности. Если у = кх, то х=у, т.е. х пропорционально у, но с обратным коэффициентом пропорциональности.

Л инейной функцией называется функция у= кх+b, где k,b– постоянные, хR. Как мы знаем из аналитической геометрии, графиком ее служит прямая линия, к– угловой коэффициент этой прямой, b– отрезок, отсекаемый на оси Оу. При к>0 линейная функция возрастает, а при k<0 – убывает (см. рис. 15.15):

Прежде чем сформулировать одно важное свойство линейной функции, напомним понятия приращения аргумента и соответствующего ему приращения функции. Пусть задана функция y=f(x), х(a, b). Выберем и зафиксируем некоторое значение аргумента х₀(a, b), а y₀ = f (x₀)– соответствующее значение функции. Выберем другое значение аргумента х, а y=f (x) – соответствующее значение функции (см. рис. 15.16). Число

х=х-х₀

называется приращение аргумента, а число

у=f (x)-f (x₀)=f (x₀+х)-f (x₀)

называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента х. Обращаем внимание на тот факт, что приращение функции зависит от приращения аргумента (и точки х₀, в которой это приращение вычисляется).

Теперь сформулируем то важное свойство линейной зависимости, о котором шла речь выше.

Приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента и не зависит от начального значения аргумента.

Действительно, если х=х-х₀, х=х₀+х, то

у=f (x)-f (x₀)=f (x₀+х)-f (x₀)=k (x₀+х)+b - (kx₀+b)= k x₀+к х+b - kx₀- b = k х,

т.е.

у = к х,

что и требовалось доказать.

1 5.5.3. Квадратичная функция. Квадратичной функцией называется функция вида y = ax²+bx+c, где a, b, c– постоянные и а≠0. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке М₀. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. На рис. 15.17. приведен график параболы у=х². На промежутке (-, 0] эта функция убывает, а на промежутке [0, +)– возрастает. Не являясь взаимно однозначной, функция у=х² не имеет обратной. Однако, если рассмотрим функцию у=х² на промежутке [0, +), то она взаимно однозначна и имеет обратную: у=, х[0, +).

Г рафик обратной функции у= симметричен графику функции у=х² относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.18).

Тем самым, выделена однозначная ветвь функции.

Д

у

ругая однозначная (и обратимая) ветвь получится, если рассмотреть нашу функцию у=х² на промежутке (-, 0], тогда обратная функция имеет вид у= - (на рис 15.18.они изображены пунктиром).

15.5.4. Обратная пропорциональная зависимость. Обратной пропорциональной зависимостью называется функциональная зависимость, выражаемая формулой у=, где к ≠0.

Если у₁= и у₂=, то , т.е. величина у обратно пропорциональна величине х, а число к называется коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком этой функции служит гипербола. На рис. 15.19. изображен график функции у=. Оси координат Ох и Оу являются асимптотами гиперболы. Свойства асимптот гиперболы рассмотрены в пункте 9.3.

15.5.5. Показательная и логарифмическая функции.

Функция, заданная формулой у=а^х, где а>0, a ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства показательной функции:

1. Область определения – множество R действительных чисел, множество значений – множество всех положительных чисел (0, +).

2. П ри а>1 функция возрастает на всей числовой оси, при 0<a<1 функция убывает (см. рис. 15.20 а, б). График показательной функции проходят через точку (0;1) при всех а.

3. О

   Рис. 15.20.

   сь Ох с уравнением у=0 является асимптотой графика показательной функции.

4. Для любых чисел х, уR справедливы равенства

а ^ха ^у=а ^х+у, = а ^х-у, (а ^х)^у=а ^ху, а⁰=1, а ^хb ^x=(аb)^х, =, a ^-1==.

Функция, заданная формулой y=log_a x, a>0, a≠1, называется логарифмической функцией с основанием а.

Напомним, что логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е.

log_a b=c: a ^c= b или =b.

Последняя формула называется основным логарифмическим тождеством. Из определения ясно, что определены логарифмы только положительных чисел b>0.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел (0, +); множество значений – множество всех действительных чисел.

2. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при а>1 и убывает при 0<a<1 (см. рис. 15.21. а, б)

3. Ось Оу с уравнением х=0 является асимптотой графика показательной функции.

4. При любом а>0, а≠1, и любых х>0 и y>0 выполняются равенства:

log_a 1=0, log_a а=1, log_a хⁿ=n log_a х, log_a (ху)= log_a х+log_a у,

log_a =log_a х - log_a у, log_a b= (переход к другому основанию), log_a b=.

Из определения логарифмической функции вытекает, что

=х, х>0; =х, хR,

и что функция у=а^х и у=log_a х являются взаимно обратными, а их графики симметричны относительно биссектрисы у=х первого и третьего координатных углов (см. рис. 15.22 а, б, соответствующие случаям а=2 и а=)