14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если α_n=0, т.е. если ε>0 n₀ n>n₀ |α_n|< ε.

Последовательность {A_n} называется бесконечно большой (б.б.), если A_n, т.е. если А>0 n₀ n>n₀ |A_n|>A.

Фактически мы дали сейчас определение бесконечного предела последовательности. Аналогично можно дать определение бесконечного предела определенного знака:

.

Пример 14.8. Как показывает пример 14.3, последовательность x_n=, nN, – б. м., т.к. = 0.

Последовательность β_п = n, nN, – б.б., это вытекает непосредственно из принципа Архимеда: β_n=+.

Свойства б.м. б.б. последовательностей:

1. Сумма двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью, т.е. если {α_n}- б.м., {β_n}- б.м., то их сумма {α_n+β_n} – б.м. последовательность.

Доказательство. α_n– б.м., т.е. ε>0 n₁ n>n₁ |α_n|<; β_n– б.м., т.е. ε>0 n₂ n>n₂ |β_n|<. Положим n₀=max {n₁, n₂}, тогда для всех n>n₀ выполняется оба неравенства одновременно, поэтому

|α_n+β_n|≤|α_n|+|β_n|<+=ε.

Итак, ε>0 n₀ n>n₀ |α_n+β_n|<ε, т.е. (α_n+β_n)=0, а последовательность {α_n+β_n} является б.м.

Из этого свойства ясно, что сумма конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

2. Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность является б.м., т.е. если {α_n} – б.м., {x_n} – ограниченная последовательности, то {α_n•x_n}– б.м. последовательность.

Доказательство. Последовательность {x_n} ограничена, это означает, что существует число М>0 такое, что |x_n|≤M nN. Выберем произвольное число ε>0 и положим ε₁=. Так как α_n – б.м. последовательность, то для ε₁ n₀ n>n₀ | α_n |< ε₁. Тогда

|α_n•x_n|=|α_n|•|x_n|< ε₁•M=•M=ε.

Таким образом, ε>0 n₀ n>n₀ |α_nx_n|<ε. т.е. последовательность {α_nx_n}– б.м.

Следствия. 1) Если{α_n}– б.м. последовательность, с=const (постоянная), то {cα_n} – б.м. последовательность (произведение б.м. последовательности на константу является б.м. последовательностью).

2) {α_n}, {β_n}– б.м. последовательности, тогда {α_nβ_n}– б.м. последовательность (произведение двух или конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью).

3. Связь б.м. и б.б. последовательностей: обратная к б.м. последовательности является б.б. последовательность и наоборот, т.е.

{α_n}- б.м. и α_n ≠0 n => - б.б.,

{β_n}- б.б. и β_n ≠0 n => - б.м.

Доказательство. Пусть α_n– б.м. и β_n=, и пусть М>0. Так как последовательность α_n– б.м., то для числа ε=>0 n₀ n>n₀ |α_n|<ε = , или

|β_n| = >=M,

но это и означает, что β_n = , т.е. является б.б.

Теорема 14.2. Последовательность {x_n} имеет своим пределом число а: x_n = а, тогда и только тогда, когда x_n = а + α_n, где {α_n} – б.м. последовательность, т.е.

x_n=а  (x_n= a + α_n, где α_n– б.м.).

Доказательство. Необходимость. Если x_n = a, то ε>0 n₀ n>n₀ |x_n - a| < ε. Положим α_n = x_n - a, тогда x_n= a + α_n и α_n – б. м.. Действительно, последнее неравенство означает, что ε>0 n₀ n>n₀ <ε , т.е. α_n – б. м.

Обратно (достаточность). Пусть последовательность {x_n} такова, что существует такое число a, что x_n можно представить в виде x_n= a + α_n , где {α_n} – б.м. Так как {α_n} – б. м., то ε>0 n₀ n>n₀ , но это и означает, что x_n = a.