11.5. Исследование структуры решения слау.

11.5.1. Структура решения однородной системы.

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

(11.17)

или в матричной форме:

А=. (11.18)

Эта система совместна, т.к. имеет тривиальное решение х₁ = х₂ = …= x_n = 0.

Свойства решений однородной системы (11.17).

1. Если ₁ и ₂- решения однородной системы (11.17), или, что тоже самое, системы (11.18), то их сумма ₁+₂ тоже решение этой системы.

Действительно, если ₁, ₂ – решение системы (11.17), то А₁= и А₂=. Тогда по свойствам умножения матриц А(₁+₂)=А₁+А₂=+=, т.е. ₁+₂ – решение однородной системы.

2. Если - решение однородной системы (11.17), а λR, λ – тоже решение однородной системы (11.17).

Действительно, если – решение, то А=0, тогда А(λ) = λ(А) = λ•=, т.е. λ– решение однородной системы.

Из этих свойств вытекает, что линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

Обозначим через L множество всех решений однородной системы (11.17), оно, ввиду выполнения свойств 1 и 2, называется пространством решений этой системы.

Найдем структуру решения однородной системы.

Пусть ранг матрицы А системы (11.17) равен r: P(A)=r, а М- базисный минор. Тогда система (11.17) приводится к виду (см. (11.16)).

(11.19)

где х₁, …, x_r- базисные переменные, а x_r+1, …, x_n- свободные переменные. Общее решение (11.19) системы (11.17) можно записать в виде

₀₀= (11.20)

где ₀₀- общее решение однородной системы, а с_r+1, …, с_n- числовые параметры. Полагая один из этих параметров равным единице, а остальные нулю, мы получим систему из n - r решений системы, называемую фундаментальной системой решений однородной системы уравнений:

_r+1=, _r+2=, _n= (11.21)

Ранг этой системы векторов равен n-r (см. выделенный минор в (11.21)), т.е. числу векторов этой системы. Поэтому эта система решений линейно независима и образует базис в пространстве решений, т.е. любое решение однородной системы является линейной комбинацией векторов фундаментальной системы решений (11.21):

₀₀=с_r+1r+1 с_r+2r+2+…+ с_nn (11.22)

Разложение (11.22) есть векторная запись формул (11.20).

11.5.2. Структура решения неоднородной системы.

Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений в матричной форме:

А = (11.23)

1) Если ₁ и ₂ – решения неоднородной системы (11.23), тогда их разность ₁ -₂ –решение однородной системы (7.18). Действительно, т.е. А ₁ = и А ₂ = , то А(₁ - ₂) = = А ₁ - А ₂ = - = .

2) Если _чн – какое-либо решение неоднородной системы (11.23), а _оо – общее решение однородной системы (11.18), тогда = _чн + _оо – решение неоднородной системы. Действительно, т.к. А _чн= и А _оо= , то А =А _чн+ А _оо= + = .

Вывод: Если _оо – общее решение однородной системы, а _чн – некоторое частное решение неоднородной системы, тогда общее решение _он неоднородной системы имеет вид:

_он = _чн+ _оо.

(11.24)

Заметив, что в качестве _чн можно выбрать какое-либо базисное решение неоднородной системы (см. пункт 11.4).