6.4. Пространство арифметических векторов Rn.

Арифметическим n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел а₁, а₂, …, а_n, который записывается в виде

=(а₁, а₂, …, а_n).

числа а₁, а₂, …, а_n называются компонентами вектора .

Два n-мерных вектора =( а₁,…, а_n) и =(b₁,…, b_n) называются равными, =, если равны их соответствующие компоненты: а₁= b₁,…, а_n=b_n.

Нулевой вектор – это вектор, все компоненты которого равны нулю: = (0, 0, …, 0).

Вектор -=(-а₁, -а₂, …, -а_n) называется противоположным вектору=(а₁, а₂, …, а_n).

Суммой двух n-мерных векторов =( а₁,…, а_n) и =(b₁,…, b_n) называется n-мерный вектор

+=(а₁+ b₁, а₂+ b₂,…, а_n+b_n), (6.5)

т.е. при сложении двух n-мерных векторов их соответствующие компоненты складываются.

Произведением n-мерного вектора =(а₁, а₂, …, а_n) на действительное число  называется n-мерный вектор

=(а₁, а₂, …, а_n), (6.6)

т.е. при умножении вектора на число каждая компонента вектора умножается на это число. В частности,

-=(-1) .

Так определенные операции над арифметическими n-мерными векторами удовлетворяют всем аксиомам линейного (векторного) пространства. Итак, множество всех арифметических n-мерных векторов с введенными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует векторное пространство над полем R действительных чисел, обозначают его Rⁿ и называют пространством арифметических векторов.

Рассмотрим в Rⁿ систему векторов , , …, вида:

(6.7)

Покажем, что эта система векторов образует базис пространства Rⁿ, называемый стандартным базисом в Rⁿ. Для этого покажем, что эта система векторов линейно независима и каждый вектор из Rⁿ является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть числа α₁, α₂, …, α_n таковы, что α₁ + α₂ + +α_n =. Учитывая правила сложения векторов и умножения вектора на число в Rⁿ, получим

(₁, ₂, …, _n) =(0, 0, …, 0),

т.е. ₁=0, ₂=0, …, _n=0. Это означает, что векторы , , …,линейно независимы. Далее

=(а₁, а₂, …, а_n) = (а₁, 0, …, 0) + (0, а₂, …, 0) + (0, 0, …, а_n)=

=a₁(1, 0, …, 0) + a₂(0, 1, …, 0) + a_n(0, 0, …, 1)= a₁+a₂+…+a_n,

т.е. каждый вектор Rⁿ есть линейная комбинация векторов системы , , …,.

Теперь ясно, что компоненты a₁, a₂, ,a_n вектора ā =(a₁, a₂, …, a_n) Rⁿ есть не что иное, как координаты вектора ā в стандартном базисе. Пространство Rⁿ является n-мерным векторным пространством.

Пример 6.2. Рассмотрим линейное пространство геометрических векторов V₃, определенное в параграфе 3 (см. п. 3.1, 3.2) и ортонормированный базис из векторов , , (см. п.3.5 б). Тогда каждый вектор ā  V₃ единственным образом разлагается по базису , , :

ā=х + у + z = {х, у, z},

где числа х, у, z- координаты вектора ā в данном базисе. Упорядоченная тройка чисел {х, у, z} однозначно характеризует вектор ā. Сложению векторов и умножению вектора на число соответствуют аналогичные действия над их координатами (см. п. 3.6).

Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между векторами пространства V₃ и упорядоченными тройками их координат (в базисе , , ), сохраняющее линейные операции сложения векторов и умножения вектора на число. Но упорядоченная тройка чисел есть не что иное, как трехмерный арифметический вектор из R³:

ā=х + у + z={х, у, z}  (х, у, z)  R³

Заметим, что ортонормированному базису , , в V₃ соответствует стандартный базис , , в R³:

=1• + 0• + 0•={1, 0, 0}  =(1, 0, 0),

=0• + 1• + 0•={0, 1, 0}  =(0, 1, 0),

=0• + 0• + 1•={0, 0, 1}  =(0, 0, 1).

Тогда пространство геометрических векторов V₃ можно рассматривать как конкретную реализацию векторного пространства арифметических векторов R³.

Пример 6.3.Пусть векторы , , …, образуют базис пространства Rⁿ, в частности, они линейно независимы, т.е. равенство

α₁ + α₂ + , …, + α_n = (6.7)

выполняется тогда и только тогда, когда α₁=0, α₂=0, …, α_n=0.

Пусть векторы , , …, заданы своими координатами:

=(а₁₁, а₂₁, …, а_n1),

=(а₁₂, а₂₂, …, а_n2),

……………………..

=(а_1n, а_2n, …, а_nn).

Перепишем равенство (6.7) в координатной форме:

(6.8)

Эта система n линейных уравнений с n неизвестными, однородная: она совместна и имеет решение α₁=0, α₂=0, …, α_n=0. Если определитель этой системы

(6.9)

отличен от нуля, ∆≠0, то решение системы (6.8) единственно.

Итак, векторы , , …, образуют базис Rⁿ тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Если этот определитель равен нулю, ∆=0, то система векторов линейно зависима и один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Скалярным произведением двух векторов =( а₁, а₂,…, а_n) и =(b₁, b₂,…, b_n) из Rⁿ называется число

(,) = а₁b₁ + а₂b₂+… + а_nb_n. (6.10)

Основные свойства скалярного произведения:

1. (,)=(,).

2. (,)= (,)= (,).

3. (+,)=(,)+(,).

4. (,)0, (,)=0  =0

Эти свойства вытекают непосредственно из определения скалярного произведения по формуле (6.10).

Модулем (длиной) вектора =(а₁, а₂,…, а_n) Rⁿ называется число

==. (6.11)

Угол между ненулевыми векторами и из Rⁿ называется угол = (), 0 такой, что

cos =. (6.12)

Векторы и называются ортогональными, , если()==, т.е. если их скалярное произведение равно нулю:

Пространство векторов Rⁿ со скалярным произведением, заданным формулой (6.10), называется евклидовым пространством Rⁿ.

Базис пространства называется ортонормированным, если векторы, образующие базис, попарно ортогональны и имеют длину, равную единице, т.е. являются ортами:

, , …, – ортонормированный базис Rⁿ 

Так стандартный базис в Rⁿ (см. 6.7) является ортонормированным базисом в Rⁿ.

Пример 6.4. Пространство V₃ со скалярным произведением, определенным в п. 4.1., является трехмерным евклидовым пространством, а векторы , , (координатные орты) образуют ортонормированный базис V₃.