К уравнению Эйлера – Лагранжа

(4.65)

приходят при синтезе оптимальных по заданному критерию систем вариационным методом. Интегрирование уравнения (4.65) возможно лишь в некоторых частных случаях:

1. функция F не зависит от , т.е.F = F(x,t);

2. функция F зависит только от х и , т.е.F = F(x, );

3. функция F не зависит от х, т.е. F = F() или F = F(,t);

4. функция F линейна относительно .

В остальных случаях приходится довольствоваться численными методами.

Следует заметить, что уравнения Эйлера – Лагранжа по своему виду не зависят от выбора системы координат в пространстве состояния.

4.4.2 Уравнения Гамильтона

Обозначим через p_i компоненту обобщенного момента системы, соответствующую координате x_i. Тогда

(4.66)

Кинетическую энергию системы можно представить как функцию обобщенных скоростей и координат

или

(4.67)

Функция (4.67) называется функцией Лагранжа для кинетической энергии.

С другой стороны кинетическую энергию можно представить как функцию обобщенного момента и координат

T_p = T_p(p, x) = T_p(p₁, p₂,…p_n, x₁, x₂,…x_n). (4.68)

Эта функция называется функцией Гамильтона для кинетической энергии.

Конечно, эти две функции, представленные формулами (4.67) и (4.68) равны:

(4.69)

Дифференцируя выражение (4.69) по x_i, получим

(4.70)

С учетом равенства (4.66), уравнение (4.70) можно записать:

(4.71)

По теореме Эйлера имеем

что, учитывая соотношение (4.66), сведется к уравнению

(4.72)

Дифференцируя последнее выражение по x_i, имеем

(4.73)

Вычитая выражение (4.71) из выражения (4.73), получим

(4.74)

Теперь продифференцируем выражение (4.69) по p_i:

или, с учетом соотношения (4.66),

(4.75)

Возьмем частную производную по p_i от выражения (4.72):

(4.76)

Вычитая выражение (4.75) из равенства (4.76), получим

(4.77)

Используя формулы (4.77) и (4.66), уравнение Лагранжа (4.64) приведем к виду

(4.78)

Две системы уравнений (4.77) и (4.78)) называются уравнениями Гамильтона (для кинетической энергии).

В случае консервативной системы входное воздействие определяется выражением

(4.79)

где V = V(x) – потенциальная энергия, не зависящая от .

Так как лагранжиан определяется формулой (4.58)

то его частные производные равны

и

С учетом этого, уравнение Эйлера – Лагранжа (4.59) можно записать в виде

или

(4.80)

Функция, выражающая полную энергию системы через координаты хи импульсыр, называютфункцией Гамильтона Н. То есть

H = T_p + V = H(p,x). (4.81)

Дифференцируя выражение (4.81), получаем

(4.82)

и

(4.83)

Подставляя равенства (4.79), (4.82) и (4.83) в уравнения (4.78) и (4.77), окончательно имеем

(4.84)

(4.85)

Две системы уравнений (4.84) и (4.85) носят название канонических уравнений Гамильтона.

Поскольку при движении консервативной системы ее полная энергия остается неизменной, Н – функция Гамильтона не зависит от времени и . Это действительно так, поскольку

а выражение в скобках, согласно уравнениям (4.84) и (4.85), равно нулю, если Н явно не зависит от времени.

4.4.3 Уравнение Гамильтона – Якоби

Во многих случаях решения уравнений (4.84), (4.85) найти не удается. Один из путей решения этих уравнений состоит в переходе от координат (p, x)к другой системе координат (,), относительно которых преобразованные уравнения имеют более простой вид. Такие преобразования, результатом которых являются новые уравнения все в той же канонической форме, называются каноническими преобразованиями. Отсюда, если

p_i = p_i(,) иx_i = x_i(,) (4.86)

есть канонические преобразования, то уравнения движения в новой системе координат (,) будут иметь все тот же канонический вид

(4.87)

где - гамильтониан, выраженный в новой системе,.

Смысл преобразований (4.86) и перехода к каноническим уравнениям Гамильтона (4.87) состоит в том, чтобы гамильтониан являлся бы только функцией переменныхи не зависел бы от . Такую цель позволяет достичь преобразование

(4.88)

где функция S(,x) называется производящей функцией. Уравнения движения в этом случае принимают вид

(4.89)

(4.90)

Из первой системы уравнений (4.89) вытекает, что все _i – константы. Вторая система уравнений (4.90) следует из того факта, что зависит только от_i, а все _i – константы. Системы уравнений (4.89) и (4.90) много проще, чем уравнения (4.84) и(4.85). Дело за малым: нужно определить производящую функцию S(,x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению в частных производных

(4.91)

Чтобы немного упростить уравнение (4.91), проведем следующие рассуждения.

Так как , то

(4.92)

Найдем производную по t от уравнения (4.91), предполагается пока, что зависит также и от_i

Используя равенства (4.87) и (4.92), из последнего уравнения имеем

(4.93)

Чтобы гамильтониан не зависел от_i, первое слагаемое в уравнении (4.93), согласно соотношению (4.89), должно быть равно нулю. Это будет выполняться, если справедливо уравнение

Из последнего соотношения получаем уравнение для S

(4.94)

которое называется уравнением Гамильтона – Якоби.

К каноническим уравнениям Гамильтона и Гамильтона – Якоби приходят при синтезе оптимальных систем методом максимума Понтрягина или методом динамического программирования Беллмана.