4.2 Обыкновенные уравнения стационарных систем
4.2.1 Переходная матрица и методы ее вычисления
Однородное уравнение для линейной стационарной системы имеет вид
(4.11)
где А – квадратная размерностью n матрица с постоянными коэффициентами, х – вектор- столбец переменных состояния. Аналогично скалярному случаю, решение уравнения (4.11) ищется в виде
x(t)
=
(4.12)
где матрица еАt
определяется уравнением (3.75), а вектор
х(t0)
задает начальные условия. Подставив
выражение (4.12) в уравнение (4.11) и выполнив
дифференцирование по всем правилам,
удостоверимся, что оно (выражение (4.12))
действительно является решением
однородного дифференциального уравнения.
Подставив в формулу (4.12) t
= t0,
можно убедиться, что начальные условия
удовлетворяются, поскольку
.
Матрица
,
удовлетворяющая однородному
дифференциальному векторно - матричному
уравнению (4.11), называется переходной
матрицей
или фундаментальной
матрицей.
Термином “фундаментальная матрица”
чаще пользуются математики, связанные
с матричными дифференциальными
уравнениями, а словосочетание “переходная
матрица состояния” встречается в теории
управления и теории систем. Прилагательное
“переходная” обусловлено тем, что с
помощью матрицы Ф(t
- t0)
осуществляется “переход” системы от
некоторого начального состояния х(t0)
к текущему состоянию х(t).
Для вычисления переходной матрицы Ф(t) могут применяться несколько методов. Из уже рассмотренных методов сюда относятся методы, основанные на теореме разложения Сильвестра и теореме Кэли – Гамильтона. К другим методам относятся метод разложения в степенной ряд и метод, основанный на преобразовании Лапласа.
Метод разложения в степенной ряд. Согласно уравнению (3.75) переходную матрицу Ф(t) можно представить бесконечным рядом
.
(4.13)
Вычисление ряда (4.13) – задача трудоемкая, особенно если ряд сходится медленно, а порядок матрицы Ф(t) недостаточно низкий. Степени матрицы Аk могут быть найдены с использованием теоремы Кэли – Гамильтона. После выполнения суммирования необходимо найти в замкнутом виде все элементы матрицы Ф(t). Количество членов при вычислении ряда (4.13) определяется скоростью сходимости: ограничиваются числом N членов ряда, если относительный вклад (N+1)-го слагаемого в уже вычисленную сумму для каждого элемента матрицы Ф(t) становится меньше наперед заданного числа.
Метод преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к уравнению (4.11):
sX(s) – x(t0) = АX(s).
Полученное уравнение разрешим относительно X(s):
X(s) = (s E – А) -1x(t0). (4.14)
Применяя к обеим частям уравнения (4.14) обратное преобразование Лапласа, получим
x(t) = L-1{(s E - А) -1}x(t0). (4.15)
Из уравнений (4.15) и (4.12) делаем вывод, что переходная матрица может быть представлена формулой
Ф(t – t0) = L-1{(s E - А) -1}. (4.16)
Таким образом, в этом методе для вычисления переходной матрицы необходимо найти обратную матрицу (s E – А)-1 и применить к ней обратное преобразование Лапласа.
Очень просто находить переходную матрицу для уравнений состояния, представленных в канонической форме (4.9). В этом случае переходная матрица равна
(4.17)
Для произвольной матрицы А на основании преобразования подобия =М-1АМ можно записать
А = ММ-1. (4.18)
Переходную матрицу на основе (4.18) можно представить, воспользовавшись формулой (3.85):
(4.19)
Выражение (4.19) представляет собой еще один метод вычисления переходной матрицы (с использованием модальной матрицы).