4.3.2 Сопряженная система
Важную роль при решении нестационарных уравнений, а также в задачах оптимального управления играет обратная переходная матрица Ф-1(t, ). Ее значимость связана с соотношением (4.40), из которого следует
Ф(t, ) = Ф-1(,t).
Поведение системы
относительно переменной tопределяется динамическими свойствами
исходной системы
.
Поведение системы относительно переменнойзависит от
динамических свойств такой системы,
для которойФ-1(t,
)является переходной матрицей. Такая
система называетсясопряженной
системой. Если исходная система задана
уравнением
,
тосопряженнаясистема определяется
как
(4.43)
где
- вектор – строка. В привычной записи
это же уравнение выглядит так
(4.44)
где
- вектор – столбец.
Легко показать, что Ф-1(t, )действительно является переходной матрицей для уравнения (4.43). Для этого вспомним уравнение (3.11), согласно которому
Учитывая, что
из последнего выражения получим
(4.45)
т.е. Ф-1(t, )удовлетворяет однородному уравнению (4.43) и, следовательно, является переходной матрицей состояния для системы (4.43). Транспонирование уравнения (4.45) дает
Таким образом, [ФТ(t, )]-1является переходной матрицей для системы, описываемой уравнением (4.44).
Уравнение сопряженной системы можно получить и воспользовавшись дифференциальным уравнением n-го порядка. Однородное дифференциальное уравнение
y(n) + а1(t)y(n-1) + a2(t)y(n-2) + …+ an(t)y = 0(4.46)
можно записать как Dn(s)y = 0, гдеDn(s)– линейный оператор, определяемый формулой
а ak(t)– действительные функции.
Тогда сопряженный линейный операторопределяется как
(4.47)
где запись sn-kak(t)говорит о том, чтоsn-kдействует на произведениеak(t)и зависимой переменной. Сопряженное линейное дифференциальное уравнениеDn*(s) = 0будет записываться в виде
(-1)nsn + (-1)n-1sn-1[a1(t)] +…+ an(t) = 0.
Если дифференциальное
уравнение (4.46) представить в стандартной
матричной форме
,
то матрицаА(t)является матрицей Фробениуса
Для сопряженной
системы матричное уравнение согласно
(4.44) равно
и матрица–АT(t)
имеет вид
Выполняя последовательное дифференцирование компонент вектора ,можно показать, что операторная и матричная формы уравнений сопряженной системы эквивалентны.
Можно найти сопряженный оператор и на основе его определения
<
,
D(s)x>
= <[D*(s)]T
,x>.
Это определение часто используется при формулировке критериев существования и единственности решения дифференциальных уравнений.
4.3.3 Общее решение нестационарных уравнений
Используя понятие сопряженной системы, можно получить общее решение уравнений состояния нестационарных систем. В общем виде уравнения состояния линейной системы задаются в виде (4.6)
=
А(t)x
+ B(t)r,
y = C(t)x + D(t)r.
Уравнение для переходной матрицы сопряженной системы имеет вид (4.45)
Умножим первое из уравнений (4.6) на Ф-1(t, ) слева, а уравнение (4.45) – на х справа:
