Сложение последних двух выражений приводит к уравнению

(4.48)

Проинтегрируем уравнение (4.48) в пределах от  до t. В результате получим

Из последнего выражения найдем х(t), учитывая, что Ф^-1(,) = E,

Воспользовавшись тем, что

Ф(t, )  Ф^-1(, ) = Ф(t, )  Ф(,) = Ф(t,),

окончательно получим

(4.49)

Решение для у(t) получается подстановкой уравнения (4.49) во второе из уравнений (4.6)

(4.50)

Выражения (4.49) и (4.50) являются общим решением неоднородных линейных нестационарных дифференциальных уравнений (4.6). По своему виду и структуре они подобны соответственно решениям (4.23) и (4.24).

4.4 Уравнения в частных производных

4.4.1 Уравнения Лагранжа

Проще всего подойти к уравнению Лагранжа, рассматривая пример механической системы (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Кинетическая энергия движущегося тела с массой M равна

(4.51)

Потенциальная энергия пружины

(4.52)

По второму закону Ньютона уравнение движения тела будет (силой трения пренебрегаем):

(4.53)

Дифференцируя соотношение (4.51) сначала по , а затем поt, имеем

(4.54)

Дифференцируя соотношение (4.52) по х, получаем

(4.55)

Складывая соотношения (4.54) и (4.55) и учитывая уравнение (4.43), получаем уравнение

(4.56)

являющееся частным случаем уравнения движения Лагранжа для системы без потерь:

(4.57)

В уравнении (4.57) переменные x_i (i = 1,2,…n) называются обобщенными координатами. Термин “обобщенные координаты” пришел из классической механики, хотя по сути это те же переменные состояния системы.

Введем обозначение

(4.58)

где х – вектор переменных состояния системы. Функция (4.58) называется лагранжианом системы. С учетом обозначения(4.58) уравнение (4.57) для консервативной (без потерь энергии) системы в случае отсутствия внешних воздействий можно записать в виде

(4.59)

Уравнение (4.59) известно как уравнение Эйлера – Лагранжа.

Уравнение движения (4.59) может быть выведено из вариационного принципа Даламбера. Этот принцип состоит в том, что любая динамическая система под действием консервативных сил движется с минимумом средней по времени разности между кинетической и потенциальной энергиями. Это означает, что

или (4.60)

где  означает соответствующую вариацию.

Найдем вариацию лагранжиана L:

(4.61)

с нулевыми граничными условиями на концах интервала (t₁,t₂), т.е. х(t₁)=x(t₂)=0.

Подставляя выражение (4.61) в формулу (4.60), получим

(4.62)

Уравнение (4.62) может быть удовлетворено только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Это условие приводит к уравнению Эйлера – Лагранжа (4.59).

Можно показать, что для систем с потерями (при отсутствии внешних воздействий) уравнение Эйлера – Лагранжа принимает вид

(4.63)

где F называется диссипативной (рассеивающей) функцией Релея, представляющей по своему физическому смыслу мощность, теряемую (рассеиваемую) системой.

При воздействии на систему внешних сил уравнение движения Лагранжа принимает вид

(4.64)

где r – обобщенные силы. Если потери отсутствуют, то r = -grad_xV. При записи уравнения (4.64) учтено, что потенциальная энергия V(x) не зависит от .