3.2.2 Векторное пространство и подпространство

Под векторным пространством понимают множество векторов, замкнутое относительно определенных в нем операций сложения и умножения на скаляр.

Сложение векторов ассоциативно и коммутативно.

Умножение на скаляр векторов ассоциативно, коммутативно и дистрибутивно относительно сложения.

Векторное пространство, включающее все n-мерные векторы, называютn-мерным векторным пространствомV_n. Векторное пространство с умножением на вещественный скаляр называетсяэвклидовым. Комплексный аналог носит названиеунитарного пространства. В случае бесконечномерных векторов (но с конечными значениями их норм) получаемгильбертовопространство.

Размерность векторного пространства определяется максимальным числом содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Подпространство S_n n-мерного векторного пространстваV_n – это некоторое подмножествоV_n, которое само является векторным пространством. Размерность подпространстваS_nопределяется, как обычно, максимальным числом линейно независимых векторов изS_n.Таким образом, подмножество векторов будет являться подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр.

Возьмем произвольный вектор хиз векторного пространстваV_n и образуем из линейной комбинации его компонент вектору:

y=Ax, (3.21)

где А– квадратная(nn) невырожденная матрица. Этот новый векторубудет принадлежать тому же пространствуV_n.Уравнение (3.21) описывает линейное преобразование и в этом случае говорят, что векторное пространствоV_nинвариантно относительно линейного преобразования, заданного квадратной невырожденной матрицейА.

Если матрица Аимеет размерность(mn), то каждая точка пространстваV_n(каждый векторх) отображается преобразованием (3.21) в некоторую точку пространстваV_m. Линейное преобразование (3.21) сохраняет результат операций сложения и умножения на скаляр. Определим линейное преобразованиеТпространстваV_nкак отображение, сопоставляющее каждому векторухV_nвекторТ(х)V_m таким образом, что для всех векторовx_i, x_jV_nи всех скаляровa_i и a_j выполняется соотношение

T(a_i x_i+a_j x_j) = a_iT(x_i)+a_jT(x_j).

Любую матрицу Аразмерностью(mn)можно представить как строкуm-мерных вектор – столбцов

A=[a₁, a₂ … a_n],

поэтому уравнение (3.21) перепишем в виде

y= Ax = x₁a₁ + x₂a₂ +…+ x_na_n,

где х_i–компоненты векторахмогут принимать любые значения. Совокупность линейных комбинаций, определяемая как подпространство, порождаемое векторамиу, можно рассматривать как подпространствоV_m, порождаемое столбцами матрицыА. Размерность этого подпространства равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицыА.

3.2.3 Базис векторного пространства

Пространство V_n содержит согласно определению и все линейные комбинации векторов, принадлежащих этому пространству. Возьмем произвольное числоmтаких векторов. Множество векторову, являющихся линейной комбинацией этих векторов

y = k₁x₁ + k₂x₂ + k_mx_m (3.22)

образуют векторное подпространство. Если только rвекторов в выражении (3.22) являются линейно независимыми, то и размерность подпространства будет равнаr- рангу системы векторовx_i, i{1,2,…m}.Это означает, что толькоrкомпонент векторауможно выбирать произвольно, остальные линейно зависят от этих rкомпонент.

Если же ранг матрицы системы векторов x_i равенn, то мы с помощью (3.22) получим векторуиз того же пространстваV_n. Тогда систему изnлинейно независимых векторов называютлинейной оболочкойпространстваV_n. Этиnлинейно независимых векторов можно использовать и какбазиспространства. Базисом пространства называют такую систему векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих базисных векторов. Векторное пространствоV_nможет иметь несколько базисов, более того множество базисов любого векторного пространства континуально ввиду континуальности множеств значений компонент векторов и скаляров, образующих линейную комбинацию. Если базисные векторы попарно ортогональны, то получаемортогональный базис, а если они к тому же и нормированы, то базис будет называтьсяортонормированным.

Существует стандартная процедура построения ортонормированного базиса из nлинейно независимых векторов, называемаяортогонализацией Грама – Шмидта.

Пусть задано множество {x₁, x₂, …x_n}линейно независимых векторов и требуется построить ортонормированный базис В качестве первого вектора выбираем произвольный векторx_i, например, полагаему₁=х₁. Из исходной системы выбираем второй векторх₂. Пустьу₂=х₂-ky₁, гдеkвыбирается из условия ортогональностиу₂ и у₁, то есть таким образом, чтобы<y₁,y₂> = <y₁,x₂> - k<y₁,y₁> = 0. Из последнего условия

и окончательно получим

y₁.

Аналогично записываем выражение для третьего вектора

у₃ = х₃ - k₂y₂ - k₁y₁,

где k₁ иk₂определяются из условий ортогональности<y₃,y₁> = 0 и<y₃,y₂> = 0. Из этих условий получаем уравнения

<y₁,x₃> = k₂<y₁,y₂> + k₁<y₁,y₁> = k₁<y₁,y₁>,

<y₂,x₃> = k₂<y₂,y₂> + k₁<y₂,y₁> = k₂<y₂,y₂>,

или окончательно

Обобщая последнюю формулу, для j-го вектора имеем

Нормируя векторы у_i, получаем ортонормированный базис

Введем еще понятие двойственного базиса, которое в дальнейшем будет полезно. Возьмем систему базисных векторовx_i, i{1,2,…n}.Зададим систему векторовr_i, удовлетворяющих соотношению

<r_i,x_j> = _i,j i,j  {1,2,…n}. (3.23)

Можно показать, что для любого базиса x_iвсегда найдется система таких векторов, что удовлетворяются соотношения (3.23). Векторыr_iявляются линейно независимыми и образуют линейную оболочку, натянутую на базисx_i. Следовательно, их можно в свою очередь выбрать как базисные векторы. Базис, состоящий из векторовr_i, удовлетворяющих соотношению (3.23), называется двойственным по отношению к базисуx_i.

Двойственный базис можно применять для определения постоянных k_i в уравнении (3.22) по заданному векторуу, то есть для разложения заданного вектораупо составляющим базисаx_i.

Составляя скалярные произведения правой и левой частей уравнения (3.22) с вектором r_i, придем к уравнениям дляk_i:

k_i = <r_i,y>.

Тогда разложение вектора упо базисным векторамx_i будет выглядеть следующим образом: