3.1 Основные типы матриц и операции над ними

3.1.1 Общие понятия

Как известно, матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из упорядоченных элементов. Элементами таблицы могут быть действительные или комплексные числа или функции от заданных переменных. В отличие от обычной прямоугольной таблицы матрица подчиняется определенным правилам сложения, вычитания, умножения и равенства. Элементы матрицы a_ijимеют двойной индекс, первый – это номер строки, второй – номер столбца, где располагается этот элемент. Матрица, содержащаяm строк иn столбцов, называется (m n) - матрицей, или матрицей порядкаmнаn.

Матрица (m 1) называетсяматрицей – столбцом или вектором – столбцом.

Матрица (1 n) называетсяматрицей – строкой или вектором – строкой.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

Единичная матрица – это диагональная матрица с элементами, равными единице.

Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой тождественно равны нулю.

Транспонированная матрица – это матрица, у которой строки и столбца поменялись местами.

Симметрическая матрица – это квадратная матрица с действительными элементами, если она равна своей транспонированной

A = A^T.

Кососимметрическая матрица – это квадратная действительная матрица, еслиA = -A^T.

Если элементы матрицы Aкомплексныеa_ij = _ij + j_ij, токомплексно сопряженная матрицаВ = А^*, содержит элементыb_ij = _ij - j_ij.

Матрица, сопряженная по отношению к матрицеА, является транспонированной и комплексно сопряженной по отношению кА, то есть равна(А^*)^Т.

Если А= А^*,то матрица являетсядействительной.

Если А= - А^*, то матрицаА мнимая.

Если матрица равна своей сопряженной, то она называется эрмитовой.Для эрмитовой матрица выполняется соотношениеА= (А^*)^Т.

Если выполняется соотношение А= -(А^*)^Т, то матрицаА носит названиекосоэрмитовой.

3.1.2 Простейшие операции

Суммой (разностью) матриц одного порядка (m n) является матрица(m n) С = А В , каждый элемент которой определяется какc_ij = a_ij b_ij.

Две матрицы одного порядка равны A = B если и только если равны их элементыa_ij=b_ij.

Определение произведения двух матриц А и В непосредственно следует из аппарата линейных преобразований. Для существования произведенияС = А В матрицаАи В должны быть согласованы по форме, то есть число столбцов матрицыА должно быть равно числу строк матрицыВ . Тогда произведениеСдвух матрицА (m  n) иВ(n p) определяется в виде

Для матриц А (m n) иВ(n  m) существует как произведениеА В, так и произведениеВ А , но в общем случае произведение не коммутативно, даже еслиm = n. Однако, если равенствоА В = В А имеет место, то говорят, что матрицаА иВкоммутативны.

Из определения операции умножения видно, что умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения как справа, так и слева.

Умножение на скаляр k матрицыА (справа или слева) означает, что на величинуkумножается каждый элемент матрицыА .

Произведение двух транспонированных матриц В^Т А^Т равно транспонированному произведению исходных матриц, взятому в обратном порядке:

В^Т А^Т = ( А В)^Т (3.1)

в чем нетрудно убедиться, транспонируя матрицу С = А В.

Умножение справа матрицы Ана диагональную матрицуD равносильно операции со столбцами А. Умножение слева матрицыАна матрицуD - это операция со строкамиА. Очевидно, что умножение слева или справа на единичную матрицуEне меняет исходной квадратной матрицы:

ЕА = АЕ =А,

то есть матрица Еявляется единичным элементом в некоммутативной полугруппе квадратных матриц по операции умножения.

Правило умножения блочных матриц, когда элементами матриц – сомножителей являются некоторые подматрицы, такое же, как и обычных матриц, важно только, чтобы подматрицы, фигурирующие в соответствующих произведениях, были согласованы по форме.

Дифференцирование и интегрирование матрицы – это соответствующие операции над ее элементами. Дифференцирование произведения матриц осуществляется также, как и дифференцирование скалярных функций при условии сохранения первоначального порядка следования сомножителей.